Полезная методичка

à ë 1

РЕКУРРЕНТН Е УРАВНЕНИ

1.1.ПОН ТИЕ РЕКУРРЕНТНОГО УРАВНЕНИ

Для н которой чи по по ч й мы у м поним ть ту -чу, но с м ньшим числом п р м тро , или чу с т м числом п р м тро , но при этом хотя ы о ин и п р м тро им т м ньшн ч ни . О ним и осно ных спосо о р ш ния ч я ля тся их с ни к р ш нию т ко о н ор по ч, что ы, исхо я и р ш - ний по ч, ыло о мо но получить р ш ни исхо ной чи. Н й нный спосо с ния исхо ной чи к р ш нию н которых по ч мо т ыть пис н и соотнош ний, которыхн ч ни функции, соот тст ующ й исхо ной ч , ыр тся ч р н ч ния функций, соот тст ующих по ч м.

Соотнош ния, с я ы ющи о ни и т функции, но с р лич- ными р ум нт ми, н ы ются р курр нтными соотнош ниями, или р курр нтными ур н ниями. Р курр нтно ур н - ни н ы тся пр ильным, сли н ч ния р ум нто у лю ой и функций пр ой ч сти соотнош ния м ньш н ч ния р у- м нто у лю ой и функций л ой ч сти соотнош ния; сли р у- м нто н сколько, то ост точно ум ньш ни о но о и них.

Ïðèì ð 1.

T (n) = T(n 1) + T (n 2) пр ильно р курр нтно ур н ни ;

T (n) = T (n 1) + T (n+ 1) н пр ильно р курр нтно ур н ни .

Пр ильно р курр нтно ур н ни н ы тся полным, сли оно опр л но ля с х опустимых н ч ний р ум нто .

Ïðèì ð 2.

T (i) = T (i 1) + ai; i > 1; T (1) = a1:

11

При м прим ры р курр нтных ур н ний.

1.Í õî íè ì êñèì ëüíî î ýë ì íò è n ýë ì íòî ì ññè-:

T(n) = T (n 1) + C = (T (n 2) + C) + C = = C (n 1); T (1) = 0;

C = O(1):

2.Í õî íè í è îëüø î è í èì íüø î è n ýë ì íòî ì ñ- ñè :

T (n) = 1; ïðè n = 2;

T (n) = 2T n2 + 2; ïðè n > 2:

1.2. СПОСОБ РЕ ЕНИ РЕКУРРЕНТН Х УРАВНЕНИЙ

Р ссмотрим осно ны м то ы р ш ния р курр нтных ур н ний:

1.Ì òî èò ð öèé.

2.По ст но очный м то .

3.М то р курси ных р ь .

Ì òî èò ð öèé

Д нный м то ключ тся том, что нно р курр нтно ур н ни р списы тся ч р мно ст о ру их и т м поисхо ит суммиро ни получ нно о ыр ния.

Ïðèì ð 1.

Í éòè ð ø íè ëÿ ð êóð íòíî î óð í íèÿ

T (n) = 2T n2 + 5n2 T (1) = 7

ì òî îì èò ð öèé.

12

óð í íèÿ.

Ïðèì ð 2.

Í éòè ð ø íè ëÿ ð êóð íòíî î óð í íèÿ

T (n) = aT (n 1) + bn; 0 < a < 1; b > 0; n > 1

T (1) = 0

ì òî îì èò ð öèé.

Ð ñïèø ì ííî ð êóð íòíî óð í íè ÷ ð ìíî ñò î ðó-èõ:

Сл о т льно, тру о мкость л оритм сть O(n) и л оритм им т лин йную сло ность.

13

По ст но очный м то

Ïðèì ð 1.

Ïð ïîëî èì, ÷òî í î õî èìî ð øèòü ñë óþù ð êóðð íòíî

óð í íè :

T(n) = 2T n2 + n:

Д нный м то ключ тся том, что м то ом по ор н хо-ится т к я функция g(n) , при по ст но к которой р курр нтно ур н ни м сто T(n) получ тся рно н р нст о

g(n) 2g n2 + n:

Функция ол н ыть н им ньш о о мо но о поря к .

По ст им функцию g(n) = cn ýòî óð í íè cn 2 cn2 + n:

Получ м ло но н р нст о:

cn cn + n:

По ст им т п рь функцию g(n) = cn2 ýòî óð í íè cn2 2c n2 2 + n:

Получ м н р нст о:

cn2 cn22 + n

èëè

c > n2 ;

которо рно ля c 2 .

Сл о т льно, функция g(n) = cn2 я ля тся р ш ни м р с- см три мо о р курр нтно о ур н ния и тру о мкость л орит- м н пр ыш т O(n2) . Попыт мся т п рь ум ньшить поря ок м орирующ й функции. Пусть g(n) = cn log2 n , òî

14

cn n рно н р нст о. Сл о т льно, тру о мкость

л оритм по кр йн й м р O (n log2 n) .

Ïðèì ð 2.

Ð øèòü ì òî îì ïî ñò íî îê ñë óþù ð êóðð íòíî óð í -

М то р курси ных р ь

Д нный м то ключ тся том, что по и у р курр нтно о ур н ния строится р о и н я структур :

1.Н п р ой ит р ции формиру тся р о сл ующ о и :

кор нь р носится с о о ный чл н исхо но о р - курр нтно о ур н ния;

сыно ьями это о корня я ляются р курр нтны функции пр ой ч сти исхо но о соотнош ния.

2.Н посл ующих ит р циях ля к о о и сыно й строитсян ло ичн я р о и н я структур .

Проц сс постро ния р о и ной структуры к нчи тся, ко-

с н ч ния исячих ршин р ны T (1) , при этом н ч ниянутр нних ршин р сть н которы я ны функции (н р - курр нтны ) от р м р чи. З м тим, что исячи ршины постро нной р о и ной структуры н о я т льно о ин ко о у - л ны от корня.

Посл постро ния р суммиро ни н ч ний ршин х прои о ится сл ующим о р ом:

15

получим, что

T(n) = O(am) = O(nlogb a):

2. Пусть r = 1 . Ò ê ê ê r = bk=a , òî a = bk è am = bmk = nk; (bm = n):

Ê òîìó

m

X ri = m + 1 = (m = logb n) = logb n + 1:

i=0

Ñë î ò ëüíî,

è

T (n) = O(nk log n):

3.Пусть r > 1 . Учиты я н р нст о ля суммы ом трич - ской про р ссии

Ò êèì î ð îì,

T (n) = O(amrm) = O(am(bk=a)m) = O(bkm) = O(nk):

2

З м ч ни 1.3.1. Н сло но пок ть, что т ор м ссимптотик O мо т ыть м н н ссимптотикой .

19

1.4.ПРИМЕР

Ïðèì ð 1.

Вычислить н ч ни ыр ния y = 2n .

При м три простых л оритм р ш ния пост л нной чи и оц ним их тру о мкость, построи ля к о о и них р курр нтно ур н ни .

Ал оритм 1

F := 1;

for i := 1 to n do

F := F + F;

Ð êóðð íòíî óð í íè : T (1) = 2; T(n) = T (n 1) + 1; n > 1: Р ш я это ур н ни м то ом ит р ций, получ м

T (n) = T (n 1) + 1 = T (n 2) + 2 = = T (1) + (n 1) = n + 1;

ò. . T (n) = (n) . Ò ê ê ê n = 2l , то тру о мкость л оритм 1сть (2l) , т. . л оритм 1 я ля тся экспон нци льным.

Ал оритм 2

function F(k:byte):word; begin

if k = 1 then F := 2; else

if k-÷ òíî then F := F (k=2) F (k=2) else F := F((k 1)=2) F((k 1)=2) 2;

end;

Ð êóðð íòíî óð í íè : T (1) = 2; T (n) = T (n=2)+T (n=2)+2; n > > 1: Сл мо , р но 2 р курр нтном ур н нии, о о н ч т

êîì í û óìíî íèÿ ûð íèè F := F ((k 1)=2) F ((k

1)=2) 2: По т ор м о р ш нии р курр нтных ур н ний T (n) = = (nlogb a) = (n) . Ò ê ê ê n = 2l , то тру о мкость л оритм 2

ñòü (2l) , т. . л оритм 2 т к я ля тся экспон нци льным.

20