Полезная методичка

У л ни миним льно о эл м нт

Бу м пр пол ть, что иноми льн я куч р ли о н и структуры, опис нной р н ля оп р ции слияния ух иноми-льных куч.

Для ыполн ния проц уры у л ния миним льно о эл м нт н о хо имо сн ч л н йти иноми льно р о с миним льным корн ым н ч ни м.

Ïð ïîëî èì, ÷òî ýòî ð î Bk . Тру о мкость это о ш

л оритм сть O(log n) .

Ó ëÿ ì ð î Bk è êó÷è H , формируя но ую иноми льную кучу H0 (êó÷ H ð Bk ).

Тру о мкость это о ш л оритм сть O(1) .

Ó ëÿ ì è ð Bk êîð íü, ð óëüò ò ÷ î èí ðíî - ð î Bk ð ñï òñÿ í ð üÿ B0; B1; Bk 1 , и которых мы о р у м но ую иноми льную кучу H00 .

Тру о мкость это о ш л оритм сть O(1) , посколькуля к о о у л хр ним ссылки н п р о о сын , л о о и пр о о р т .

Выполня м оп р цию слияния куч H0 è H00 . Тру о мкость слияния ух куч сть O(log n) .

Сл о т льно, тру о мкость проц уры у л ния миним льно о эл м нт сть O(log n) .

Ни пок н куч , получ нн я и кучи H3 посл у л ния и н миним льно о эл м нт с ключом 12.

112

H3

Ан ли осно ных проц ур р оты с иноми льными куч ми при-о ит к сл ующ й структур нных ля пр ст л ния и- номи льной кучи.

type

tree_ptr =" tree_node; tree_node =record

element:integer; rank :integer;

f_child : tree_ptr; l_sib : tree_ptr; r_sib : tree_ptr; end;

PRIORYTY_QUEUE=tree_ptr;

113

Т ким о р ом, к ый эл м нт, опис нной ыш мультисписко ой структуры, со р ит сл ующую информ цию: ключ он ч ни ршины, колич ст о сыно й (которо н ы тся р н-ом ршины), ук т ль н п р о о сын , ук т ль н л о о и пр о о р т . Сыно ья к ой ршины пр ст л ны иухс я но о списк и упоря оч ны по р м р м их по р ь ; ук т ль л о о р т п р о о сын сть посл ний сын.

Н при нном ни рисунк иноми льн я куч рху и о-р н и л с , ни у мультисписко я структур .

При м про р ммную р ли цию проц уры слияния ух и- номи льных куч.

114

function merge_tree(T1; T2 : P RIORIT Y _QUEUE): P RIORIT Y _QUEUE;

T1 " :rank := T1 " :rank + 1; merge_tree := T1;

end;

function merge(H1; H2 : P RIORIT Y _QUEUE) : P RIORIT Y _QUEUE;

var H2 : P RIORIT Y _QUEUE;

T1; T2; T3 : P RIORIT Y _QUEUE; begin

if H1 = nil then merge := H2 else

if H2 = nil then merge := H1 else

if H1 " :rank < H2 " :rank then

{ extract(T1; H1); H3 := merge(H1; H2); T1 " :l_sib := H3 " :l_sib;

H3 " :l_sib: " :r_sib := nil;

T}1 " :r_sib := H3; H3 " :l_sib := T1; merge := T1;

else

if H2 " :rank < H1 " :rank then merge := merge(H2; H1)4

else

{ extract(T1; H1); extract(T2; H2);

H3 := merge(H1; H2); T3 := merge_tree(T1; T2); merge := merge(H3; T3);

}

end;

115

При нн я ыш функция слияния ух куч merge(H1; H2 : P RIORIT Y _QUEUE)

исполь у т функцию слияния ух иноми льных р ь merge_tree(T1; T2 : P RIORIT Y _QUEUE)

и пр пол т, что сущ ст у т функция extract(T; H) , котор я у ля т р о T и иноми льной кучи H .

Óïð í íè .

Выполнить про р ммную р ли цию проц уры у л ния миним льно о эл м нт и иноми льной кучи.

4.5.4Êó÷è Ôè îí ÷÷è

Н ни куч Фи он ччи о усло л но т м, что ля ок т льст оц нок тру о¼мкости оп р ций исполь уются числ Фи он ччи. Н -

Åñëè k ч¼тно, то ок м по ин укции.

116

Пусть k = 4 . Про рим истинность н р нст

F (4) 23=2:

Ä éñò èò ëüíî,

F (4) = F(3) + F (2) = F (2) + F (1) + F(2) = 2F (2) + F (1) = 3:

Пр поло им, что с ойст о 4.5.1. истинно ля с х ч¼тных чи- с л, м ньших k . То , с уч том ин укции и с ойст ля н ч тных k , èì ì

ñò 4.5.1. îê í .

Для ок т льст торой ч сти с ойст 4.5.1. опр лим ря

Âòîð ÿ ÷ ñòü ñ îéñò 4.5.1. îê í .

Дру ой спосо ок т льст торой ч сти с ойст 4.5.1..

По ин укции ля k = 3 èì ì F (3) = 1 + F (1) , ñë î ò ëüíî ñ îéñò î ðíî. Ïð ïîëî èì, ÷òî

F (k) = F (1) + F (2) + : : : + F(k 2);

òî

F (k + 1) = F(k) + F (k 1) = F (1) + F (2) + : : : + F (k 1):

Âòîð ÿ ÷ ñòü c îéñò 4.5.1. îê í .

2

117

Äîê ò ëüñò î.

Про м ок т льст о по ин укции. Если k = 3 , òî

G(3) 1 + G(1) = 2 = F (3):

Ïð ïîëî èì, ÷òî G(k) F (k) ëÿ ñ õ í ÷ íèé k î q 1 . Òî G(q) 1 + G(1) + G(2) + : : : + G(q 2) 1 + F (1) + F(2) +

+ : : : + F (q 2) = F (q): Ñë î ò ëüíî,

2

Õð í íè ñ ì éñò êîðí ûõ ð ü

Р ссмотрим с м йст о корн ых р ь и ля н о опр лим

ïðîö óðû link(i; j) è cut(i) . Ïðîö óð link(i; j) состоит слиянии ух р ь о ин ко о о р н , корнями которых я ляются у лы i è j . Ïðîö óð cut(i) состоит том, что о р у тся но-о р о, корн м которо о я ля тся у л i , i п р ст т ыть сыном у л j = pred[i] .

Для лю о о у л н о хо имо им ть информ цию о пр к х, потомк х и р н у ло соот тст ующ о р (по р н ом у л поним тся колич ст о о сыно й):

1.pred[i] îò ö ó ë i í îð êîðí ûõ ð ü . Ó ë i ,

í èì þùèé îòö ÿ ëÿ òñÿ êîðí ûì ó ëîì. Â ýòîì ñëó÷ pred[i] = 0 .

2.succ[i] ìíî ñò î ñûíî é ó ë i . то мно ст о мо но хр нить и ун пр л нно о списк .

3.rank[i] число сыно й у л i ( rank[i] = jsucc[i]j )

4.minkey у л с миним льным н ч ни м ключ н ор корн ых р ь .

Н рис.4.5.15. при ¼н прим р с м йст корн ых р ь . Ни при о ится соот тст ующ я й структур нных.

118

Ðèñ. 4.5.15.: Í îð êîðí ûõ ð ü .

и м ня т информ цию: отц ( pred ), í ñë íèêî ( succ ) è ð í ( rank ) к к м ксимум ля ух у ло .

Îïð ë íè êó÷è Ôè îí ÷÷è

Куч Фи он ччи это с м йст о корн ых р ь , ля которых ыполняются сл ующи с ойст (ин ри нты):

С ойст о 4.5.3. (Ин ри нт 1). К ый у л куч Фи он ч- чи у о л т оря т осно ному с ойст у кучи: приорит т отц н ни приорит т к о о и о сыно й.

С ойст о 4.5.4. (Ин ри нт 2). К ый н корн ой у л мо-т пот рять н ол о но о сын при ыполн нии проц уры cut .

119

Рис. 4.5.16.: Иллюстр ция проц ур link(i,j) и cut(i): a) н ор кор- н ых р ь ; b) р ульт т link(2,6); c) р ульт т cut(8);

С ойст о 4.5.5. (Ин ри нт 3). В с м йст корн ых р ь н т ух р ь с корнями о ин ко о о р н .

Пок м, что осно ны оп р ции с куч й Фи он ччи мо-ут ыть р ли о ны и посл о т льности ух проц ур: link(i; j) è cut(i) .

Ïðîö óð link(i; j) прим ня тся к ум р личным корн ым у л м i è j ð íî î ð í .

link(i; j)

Åñëè key(j) key(i) , òî î èì ó ó (i; j) ( êó÷ Ôè îí ÷- ÷è ó ë j ст но ится отцом у л i ). Åñëè key[j] > key[i] , òîî èì ó ó (j; i) (ó ë i ст но ится отцом у л j ).

cut(i)

120