Полезная методичка

Ó ëÿ ì ó ó (i; pred[i]) ( êó÷ ó ë i ñò íî èòñÿ êîðí ûì ó ëîì).

Для кучи Фи он ччи опр лим осно ны оп р ции и пок м, что ля р ли ции к ой и них ост точно исполь о ния посл о т льности проц ур link è cut .

1. find_min(i; H) îï ð öèÿ í õî íèÿ êëþ÷ ó ë minkey , minkey у л с миним льным ключом.

2.insert(x; H) оп р ция о ля т к куч корн о р о, состоящ и инст нно о у л с ключом x . Посл это о мо т ыть н руш н ин ри нт 3. Для о осст но л ния мо т потр о ться посл о т льность проц ур link .

3.delete_min(x; H) оп р ция у л ния миним льно о эл - м нт и кучи Фи он ччи. Н хо им корн о р о с корн м

minkey . Отр м с помощью проц уры cut ñ õ ñûíî é ó ë minkey и писы м их список list . Упоря очим эл - м нты списк list поря к н у ы ния р н о (н прим р, с помощью ч рп чной сортиро ки).

Для о сп ч ния ин ри нт 3 поступ м сл ующим о р -ом. И л к м и списк list ìíî ñò î r1 ; :::; rt êîðí é ð í k . Åñëè t > 1 , ыполня м проц уру link(ri; ri+1); i = = 1; 3; 5; :::; t 1 и писы м получ нны корни р н k + + 1 ÷ ðï ê k + 1 , k = 0; 1; :::; 2 log n + 1 . Получим список list , котором н т у ло о ин ко о о р н . Ск ниру м с корн ы у лы (которы хр нятся списк list è ì ññè bucket(k); k = 0; 1; ; 2 log n + 1) , и с помощью проц уры link îñò í ëè ì èí ðè íò 3).

Сл у т м тить, что н т н о хо имости по р к ин - ри нт 2, поскольку он ыполн н.

Тру о мкость оп р ций ля кучи Фи он ччи

Для оц нки тру о мкости ок м н которы с ойст . Структурнных куч Фи он ччи со р ит мно ст о корн ых р ь , которы ин мич ски и м няются проц сс ыполн ния осно ных проц ур link(i; j) è cut(i) . ти корн ы р ья у о л т оряют

121

ин ри нт м 1-3, которы я ляются сущ ст нными ля получ ния оц нок р м ни ыполн ния оп р ций кучи.

ти ин ри нты мо ут н руш ться н пром уточных ш х н которых оп р ций кучи, о н ко, посл рш ния с х оп р ций, куч у о л т оря т ин ри нт м 1-3.

Ñ îéñò î 4.5.6. Ïðîö óðû link(i; j) è cut(i) òð óþò O(1)р м ни ля ыполн ния.

Сущ ст у т исимость м у числом проц ур link(i; j) è cut(i) при р от со структурой нных куч Фи он ччи.

Р ссмотрим функцию пот нци ло (potential function), опр -ля мую к к колич ст о корн ых р ь . К я проц ур link(i; j) ум ньш т число корн ых р ь н 1 и к я про- ц ур cut(i) у личи т их число н 1. О щ число ум ньш ний числ корн ых р ь куч Фи он ччи о р нич но н ч льным числом корн ых р ь ( m ) плюс о щ число их ум ньш ний. Сл ующ с ойст о оч и но.

С ойст о 4.5.7. Число проц ур link(i; j) р но к к м ксимум m плюс число проц ур cut(i) .

Î î í ÷èì ÷ ð G(k) миним льно число у ло , со р щихся по р с корн м у л р н k êó÷ Ôè îí ÷÷è.

Ñ îéñò î 4.5.8. G(k) F (k) .

Äîê ò ëüñò î.

Пусть w ó ë êó÷ Ôè îí ÷÷è ñ ð í îì k . Упоря очим сыно й у л w том поря к , котором пр ы ущи оп р ции присо иняли их к w , îò ð ííèõ ê ïî íèì. Äîê ì, ÷òî ð í i -

î ñûí ó ë w к к минимум i 2 .

Пусть y ñòü i -ûé ñûí ó ë w и р ссмотрим мом нт, ко

ó ë y присо иня м к у лу w . Ï ð ýòèì ó ë w им л к к минимум i 1 ñûíî é (ó ë w ìî èì òü è îëüø i 1 ñûíî é, íî îíè ûëè ó ë íû). Ò ê ê ê ýòî ð ìÿ y è w èì ëè î èí è òîò ð í , òî ó ë y ол н ыл им ть к к минимум i 1 ñûíî-é. Ç ì òèì, ÷òî òî ð ìÿ ó ë y пот рял н ол о но о сын (ин ри нт 2), поэтому у л y ол н им ть к к минимум i 2 ñûíî é.

122

Ïî ð î ñ êîðí ì ó ë w со р ит к к минимум

1 + G(1) + G(2) + ::: + G(k 2)

у ло , поэтому

G(k) 1 + G(1) + G(2) + ::: + G(k 2)

è ïî ñ îéñò ó 4.5.2. êëþ÷ ì, ÷òî G(k) F (k) .

2

Ë ìì 4.5.1. Ì êñèì ëüíî î ìî íûé ð í ëþ î î ó ë êó÷ Ôè îí ÷÷è ð í 2 log n + 1 .

Äîê ò ëüñò î.

Ò ê ê ê íèê êî ïî ð î í ìî ò ñî ð òü îëüø , ÷ ì n у ло , и по с ойст м 4.5.1.,4.5.2.,4.5.8. ыполняются н р нст

k 1

n G(k) F (k) 2 2 :

Ло рифмируя, получим 2 log n + 1 k . Ò êèì î ð îì, ì ê- ñèì ëüíî î ìî íûé ð í ëþ î î ó ë êó÷ Ôè îí ÷÷è ð í

2 log n + 1 .

2

Ñë óþù ñ îéñò î ñë ó ò è èí ðè íò 3 è ë ììû 4.5.1..

С ойст о 4.5.9. Куч Фи он ччи состоит и н ол ч м и 2 log n + 1 êîðí ûõ ð ü .

Восст но л ни ин ри нт 2

Äëÿ îññò íî ë íèÿ èí ðè íò 2 ó ì õð íèòü ëÿ ê î î ó ë i ополнит льный ин кс lost(i) , который опр лим сл ующим о р ом:

lost(i) : ëÿ êîðí î î ó ë lost(i) = 0 ;

ëÿ í êîðí î î ó ë lost(i) р н числу сыно й, которы у л i ïîò ðÿë, ïîñë òî î, ê ê ñò ë í êîðí ûì ó ëîì.

123

Í ÷ ëüí ÿ ïðîö óð cut ìî ò ïîðî èòü ðó è ïðîö óðû cut , которы н о м поро нными проц ур ми cut . У лы к которым прим ня тся проц ур cut у м хр нить списк list .

Восст но л ни ин ри нт 2 осущ ст ля тся сл ующим о р -ом: сли н ч ни lost(i) = 2 , òî ê ó ëó i ïðèì íèì ïðîö óðó cut(i) . Â ñ îþ î÷ ð ü ïðîö óð cut(i) ìî ò ïîðî èòü ïðîö ó- ðó cut(pred(i)) ëÿ ó ë k = pred(i) , ñëè lost(k) = 2 и т. . о т х пор, пок н у т ыполн н ин ри нт 2. У лы, к которым прим н ны н ч льн я проц ур cut и посл о т льность поро-

ííûõ ïðîö óð cut , т к их р н и, сохр ня м списк list .

Восст но л ни ин ри нт 3

Èí ðè íò 3 òð ó ò, ÷òî û íèê êèõ êîðí ûõ ó ë í èì ëè

î èí êî î î ð í . Äëÿ ïî ð êè èí ðè íò 3 î èì èí êñ bucket(k) ëÿ ëþ î î î ìî íî î ð í k = 0; 1; 2; :::; k = 2 log n +

+1:

bucket(k) : ëÿ ê î î í êîðí î î ó ë i êó÷è Ôè îí ÷- ÷è ð í k ïîë ì bucket(k) = 0 è bucket(k) = i , ñëè

н который корн ой у л i èì ò ð í , ð íûé k ;

Í ÷ ëüí ÿ ïðîö óð link мо т поро ить посл о т льностьру их проц ур link , которы н о м поро нными проц у- р ми link .

Ïð ïîëî èì, ÷òî, ð îò ÿ ñ êó÷ é Ôè îí ÷÷è, ìû ñî ëè êî- ð íü j ð í k è êó÷ ñî ð èò ðó îé êîðí îé ó ë i ýòî îð í k . То мы по торя м сл ующую проц уру ля по -р ки ин ри нт 3: ыполня тся проц ур link(i; j) , котор я о ъ иня т корн ых р с корн ыми у л ми р н k íî î êîðí î ð î ñ êîðí ì ð í k + 1 . Пусть l êîð íü íî î î ð . Åñëè bucket(k + 1) = t 6= 0 , òî ñð è í îð êîð- í ûõ ð ü èì òñÿ êîðí î ð î ñ êîðí ì t ð í k + 1 . Выполня м сно проц уру link(l; t) о ъ н ния ух корн ыхр ь с корнями р н k + 1 î íî êîðí î ð î ñ êîðí ì ð í k + 2 è ñíî ïðî ðÿ ì í ÷ íè bucket(k + 2) и т. . тот проц сс ыполн ния проц ур link про ол тся о т х пор, пок н у т сохр н н ин ри нт 3. Посл ыполн ния к ой проц -уры link(i; j) н о хо имо корр ктиро ть эл м нты структурынных.

124

р с корн ыми у л ми 1 и 7 им ют о ин ко ый р н , р ный 2. О ъ иня м их но о корн о р о (рисунок d)) с корн м у л 1 с помощью проц уры link(1; 7) . Ин ри нт 3 ыполн н.

С ойст о 4.5.10. Если мы о ля м но о корн о р о ку- чу Фи он ччи, это мо т потр о ть ыполн ния поро н- ных проц ур link ля по р ки ин ри нт 3. Вр мя, н о хо и- мо ля ыполн ния этих проц ур пропорцион льно о щ му числу проц ур link .

Ð ëè öèÿ îï ð öèé êó÷è Ôè îí ÷÷è

Н ря у с осно ными оп р циями, нными ля кучи Фи он ч- чи, опуск ются сл ующи оп р ции:

êó÷è.delete(i; H) оп р ция у л ния прои ольно о у л i è

decrease_key(i; value; H) îï ð öèÿ óì íüø íèÿ êëþ÷ ó - ë i í í ÷ íè value .

increase_key(i; value; H) îï ð öèÿ ó ëè÷ íèÿ êëþ÷ ó ë i í í ÷ íè value .

у о л т оря т с ойст у упоря оч нности (ин ри нт 1), но ля у - л j = pred(i) с ойст о упоря оч нности мо т н рушится. Если

( ч стном случ , сли key(i) = i , òî minkey = i , сли мы мо-ифициру м minkey ). З т м н о хо имо о сп чить ыполн ни ин ри нт 2, поскольку ыполн н проц ур cut(i) .

Проц сс о сп ч ния ин ри нт 2 поро т но ы корн ыр ья с но ыми корнями. Бу м хр нить списк list корни но-ых корн ых р ь и их р н и, прич м list хр нятся корнис х но ых корн ых р ь , о р о нных р ульт т н ч льных и поро нных проц ур cut . Список list упоря очим по о - р ст нию р н о у ло с исполь о ни м ч рп чной сортиро ки.

126

З т м, ко мы о сп чили ин ри нт 2, н чин м по оч р и у лять но ы корни и списк list . З м тим, что ля то о что ысписк list отсутст о ли у лы о ин ко о о р н поступ м по пр ил м, и ло нным при опис нии оп р ции delete_min(i; H) . Пусть k н который корн ой у л списк list ð í l . Åñëè bucket(l) = 0 , то у ля м эл м нт и списк list и п р хо им к сл ующ му эл м нту списк . Если bucket(l) = i 6= 0 , òî êîðí îé ó ë ð í l сть у куч Фи он ччи. Пусть j ó ë ð í-l куч Фи он ччи. Выполня м проц уру link(i; j) , котор я поро т посл о т льность ру их проц ур link (по р к ин ри нт 3). Если ин ри нт 3 ыполн н, то п р хо им к о р -отк оч р но о у л и списк list .

Ал оритм к нчи т р оту то , ко список list ïóñò.

Пусть н о хо имо ыполнить оп р цию decrease_key(i; value; H)ëÿ ó ë i с ключ ым н ч ни м 24. Пусть key[i] = i; key[i] = 24 è í ÷ íè value ð íî 22. Èì ì key[i] = 2 . Äëÿ ó ë i í õî èì j = pred[i]; key[j] = 18 . Поскольку key[i] < key[j] , òî ïðèì íèì ïðîö óðó cut(i) ê ó ëó i ñ êëþ÷ ûì í ÷ íè ì key[i] = 2 .

 ð óëüò ò èì ì êîëë êöèþ êîðí ûõ ð ü , è î ð í- íóþ íè .

127

Æ

Z}

Z

18 [2]

Æ 20Æ

[0]

Мо ифициру м н ч ни миним льно о ключ : minkey = 3 - м ня м н но о н ч ни minkey = 24 . Пом щ м список list у л с ключом 2; list = f24g . Поскольку ршин j = pred[i] с ключом 18 им т н ч ни ин кс lost(j) = 2 (он пот рял ух сыно й), то н о хо им по р к ин ри нт 2. то осущ ст ля-тся с помощью проц уры cut(j) ля у л с ключом 18. Список list = f24;18g . В с ою оч р ь, эт проц ур cut(j) поро ит про- ц уру cut(pred[j]) ля у л k = pred[j] с ключ ым н ч ни м 14. Поскольку lost(pred[k]) = 1 , то ин ри нт 2 ыполн н.

Список list со р ит ключи: list = f24; 18; 14g .

В ыполн нных проц ур х cut мо ифик ция миним льно он ч ния ключ н исполь у тся, поскольку ключ у л minkey со-р ит пок н им ньш н ч ни . В р ульт т им м сл ующий н ор р ь : a) Колл кция корн ых р ь , получ нн я р -ульт т н ч льной проц уры cut(i) ля у л с ключом 2 и поро-

нных проц ур cut ля по р ки ин ри нт 2. b) Корн ыр ья, соот тст ующи у л м и списк list . c) Колл кция кор- н ых р ь , состоящ я и о но о р (список list ), получ н- н я р ульт т слияния р ь с корнями о ин ко о о р н .

При м проц уру слияния р ь и списк list .

128

Èí êñ bucket(k); k = 1; 2; : : : ; 9 приним т н ч ния: bucket(0) = 6;

bucket(1) = 13; bucket(2) = 10; bucket(3) = 3;

bucket(i) = 0; i = 4; 5; :::;9:

Н хо им списк list корн о р о миним льно о р н . Ему соот тст у т кор нь i = 24; key[i] = 2; rank[i] = 2 . Ïîë ì k = rank[i] = 2 . Ò ê ê ê bucket[k] = 10 , то н ор корн ых р ь им тся р р н 2, у лы которых р ны i = 24 , j =

= bucket[k] = 10 .

Выполня м проц уру link(i; j) ëÿ ó ëî 24 è 10.

ò í ÷ ëüí ÿ ïðîö óð link ïîðî ò ðó è ïðîö óðû link (по р к ин ри нт 3), которы проиллюстриро ны ни-н рисунк : a) Колл кция р ь посл слияния р ь с корнями р н 2. b) Колл кция р ь , получ нн я р ульт т слияния р ь с корнями р н 3.