Полезная методичка

è

получ м тр у мо н р нст о:

h+2 1

2h+2 1 nh+1 3 2 :

2

Á î û îï ð öèè í 2-3 ð üÿìè

Êî ûì îï ð öèÿì í 2-3 р ьями относятся:

1.Поиск эл м нт с нным ключом (поиск миним льно о, м ксим льно о эл м нт ).

2.До л ни эл м нт с нным ключом.

3.У л ни эл м нт с нным ключом.

Поиск эл м нт с нным ключом a

1.Пусть root êîð íü 2-3 ð . Ïîë ì t = root .

2.Ïîê t н лист, по торя м сл ующую посл о т льность ш о :

ñëè a l(t) , òî t := ls(t) ;

èí ÷ , ñëè a s(t) èëè rs(t) = 0 (у ршины только

ñûí ), òî t := ss(t) ;

èí ÷ , t := rs(t):

3.Ср ни м ключ о н ч ни исяч й ршины t с ключом a ; сли они со п ют, то ршин н й н , проти ном слу- ч ршины с нным ключом a ð í ñóù ñò ó ò.

До л ни эл м нт с ключом a

Пр поло им, что н м н о хо имо о ить ршину с ключом aн пусто р о (им тся хотя ы о ин эл м нт).

161

1.Если р о состоит и инст нной ршины w ( key(w) ключ ршины w ), òî

(a)о р у м но ую ршину v (лист) с ключом key(v) := a ;

(b)î ð ó ì íî ûé êîð íü r ;

(c)ñëè key(w) < key(v) , òî ïîë ì w è v л ым и пр -ым сыном корня r соот тст нно; проти ном случ w è v ïð ûé è ë ûé ñûí r ;

(d)формиру м м тки ршины r .

2. ð îë î íî î ó ë .

(a)Осущ ст ля м поиск отц f ëÿ íî ü î ëÿ ìîé ð- øèíû v ñ êëþ÷ ûì í ÷ íè ì a (это у т от ц ршины t опис нной проц ур поиск эл м нт с нным ключом a ).

(b)Формиру м но ый лист v è ïîë ì key(v) := a .

(c)Опр ля м по ицию ршины v по отнош нию к отцу.

v; v1; v2; v3; v1; v; v2; v3; v1 ; v2; v; v3; v1; v2; v3 ; v .

(d)Åñëè ó îòö f ыло только сын v1 è v2 , то соот тст ии с н й нной конфи ур ци й, уст н ли м

162

ля ршины f ссылки н л о о, пр о о и ср н о сын и корр ктиру м м тки ршин оль пути от корня к о л нной ршин v . Êîí ö ïðîö óðû î ë íèÿ.

(e)Åñëè ó îòö f ó ûëî òðè ñûí v1; v2; v3 , то у мыполнять сл ующи йст ия:

о р у м но ую ршину v0 , сыно ьями которой я - ляются м ксим льны ршины и н й нной конфи ур ции, сыно ьями ршины f миним льны ршины (см. рис.5.2.8.).

Ðèñ. 5.2.8.:

Пусть f0 от ц ршины f .

Если у ршины f í ò îòö ( f êîð íü), òî î ð ó ì íî ûé êîð íü r0 è í í ÷ ì f è v0 л ым и ср ним сыно ьями корня r0 и, соот т- ст нно, ысот р у личи тся н иницу. Корр ктиру м м тки и рш м проц уруо л ния эл м нт .

163

r0 TTl

f n v0 m

Åñëè ó ó ë f ñòü îò ö f0 , опр ля м конфи-ур цию сыно й f0 и ршины v0 сл ующим о р ом: у л v0 ñë ó ò í ïîñð ñò ííî ó -

ëîì f . Ïîë ì f = f0; v = v0 è ï ð õî èì ê ø ó (d) л оритм .

Н рис.5.2.9.-5.2.11. при н прим р о л ния 2-3 р оршин с ключ ми 4,8,6 .

Тру о мкость л оритм о л ния эл м нт с нным клю- чом исит от о щ о колич ст о л ний ршин (н ч льнойршины v è ðøèí v0 , о л ни которых потр о лось ля по р ния ин ри нто 2-3 р ). Оч и но, что колич ст оо ля мых ршин н пр осхо ит ысоты р h , ò ê ê ê í ê îì ñë óþù ì ø î ëÿ òñÿ ðøèí í îëüø é ûñîò . Ê ê ñë ó ò è ò îð ìû 5.2.2. ûñîò 2-3 ð ñ n листьями н пр осхо ит log n , и т к к к ля о л ния о ной ршины тр у-тся кон чно число оп р ций, то сло ность л оритм о л ния но о о эл м нт 2-3 р о сть O(log n) .

Óïð í íè .

Ïîê òü, ÷òî ñèòó öèè, è î ð ííîé í ðèñ.5.2.8., ì òêè íî-ûõ ðøèí f è v0 мо ут ыть н й ны н осно нии только м токршин f; f0 (отц ршины f ) è ì êñèì ëüíî î í ÷ íèÿ êëþ÷2-3 ð .

У л ни эл м нт с ключом a

1.Н й м ршину v с ключом key(v) = a .

2.Пусть f от ц ршины v . У ля м ршину v .

3.Åñëè v ыл корн м, то получ м пусто р о и рш м проц уру у л ния.

4.Если у ршины f ост лось сын (это опустимо ля 2-3р ), то опр ля м конфи ур цию сыно й ршины f , формиру м м тки ршин и рш м проц уру у л ния.

164

Рис. 5.2.9.: До л ни ршины с ключом 4 2-3 р о.

165

ÆÆÆÆ Æ Æ ÆÆ

Рис. 5.2.10.: В рху 2-3 р о посл о л ния ршины с клю- чом 5. Вни у 2-3 р о посл о л ни ршины с ключом 8.

166

Рис. 5.2.11.: 2-3 р о посл о л ния ршины с ключом 6.

5. Если у ршины f ост лся только о ин сын v1 , òî

сли f кор нь, то ршину v1 л м корн м, формиру м м тки и рш м проц уру у л ния;

ñëè f í êîð íü, òî îí îë í èì òü ïî êð éí é ì ð î íî î ð ò g :

ïð ïîëî èì, ÷òî ð ò g í õî èòñÿ ñë îò í î è

у g только сын : w1 и w2 , то л м v1 пр -ым сыном ршины g ; пол м v = f и п р хо им к ш у 2 л оритм ;

ср ним сыном, формиру м м тки и рш м проц уру у л ния эл м нт ;

167

пр поло им, что р т н хо ится спр от н о; с- ли у g только сын : w1 и w2 , то л м v1 л ым сыном ршины g , w1; w2 ср ним и пр -ым сыно ьями; пол м v = f и п р хо им к ш у 2 л оритм ;

сли у р т g три сын : w1; w2; w3 , то опр ля м v1; w1 к к л ый и ср ний сын ршины f , опр - ля м w2; w3 к к л ый и ср ний сын ршины g ; формиру м м тки и рш м проц уру у л ния эл м нт ;

Н рис.5.2.12. - 5.2.13. посл о т льно пок ны ш и, которы н о хо имо ыполнить ля у л ния эл м нто с ключ ымин ч ниями 3,5,9,11 и р .

Тру о мкость л оритм у л ния ршины v исит от о - щ о колич ст у ля мых ршин (н ч льной ршины v и т хршин, у л ни которых потр о лось ля по р ния ин - ри нто 2-3 р ). О щ колич ст о у ля мых ршин н пр -осхо ит ысоты р , т к к к н к ом оч р ном ш л-оритм происхо ит у л ни ршины н ольш й ысот . К к сл у т и т ор мы 5.2.2. ысот 2-3 р с n листьями н пр -осхо ит log n , и т к к к у л ни о ной ршины ыполня тся кон чно число ш о , то сло ность л оритм у л ния эл м нт и 2-3 р сть O(log n) .

168

Рис. 5.2.12.: У л ни эл м нт с ключом 3 и 2-3 р .

169

Ðèñ. 5.2.13.: Ó ë íè ýë ì íòî ñ êëþ÷ ìè 5,9,11 è 2-3 ð .

170