3. Пояснить физический смысл и указать размерность спектральной плотности мощности случайного сигнала. Связь между спектром и корреляционной функцией случайного сигнала.

Подразумевая под случайным процессом множество (ансамбль) функций времени, необходимо иметь ввиду, что функциям, имеющим различную форму, соответствуют различные спектральные характеристики. Усреднение комплексной спектральной плотности приводит к нулевому спектру процесса из-за случайности и независимости фаз спектральных составляющих в различных реализациях. Можно, однако, ввести понятие спектральной плотности среднего квадрата случайной функции, поскольку значение среднего квадрата не зависит от соотношения фаз суммируемых гармоник. Если под случайной функцией х(t) подразумевается электрическое напряжение или ток, то средний квадрат этой функции можно рассматривать как среднюю мощность, выделяемую в сопротивлении 1 Ом. Эта мощность распределена по частотам в некоторой полосе, зависящей от механизма образования случайного процесса. Спектральная плотность средней мощности представляет собой среднюю мощность, приходящуюся на 1 Гц при заданной частоте . Размерность функции W(), являющейся отношением мощности к полосе частот, есть

Связь между спектром и корреляционной функцией случайного сигнала.

Теорема Хинчина-Колмогорова (также известная как Теорема Винера-Хинчина и иногда как Теорема Винера-Хинчина-Эйнштейна) утверждает, что спектральной плотностью мощности стационарного в широком смысле случайного процесса является преобразование Фурье соответствующей автокорреляционной функции. Непрерывный случай:

Где

есть автокорреляционная функция, определённая через математическое ожидание, и где Sxx(f) спектральная плотность мощности функции x(t).

Дискретный случай:

Где

и где Sxx(f) спектральная плотность мощности с дискретными значениями x[n].

Преобразование Фурье — операция, сопоставляющая функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.

Преобразование Фурье общего вида функции f вещественной переменной можно представить интегральным преобразованием:

6. Задача

На вход линейного устройства с передаточной функцией K( jw) воздействует белый шум x(t) с математическим ожиданием m_x = 0, имеющий спектральную плотность мощности W₀ .

Дано: W₀₌3,0*10^(-6) В²/Гц А=0.15915*10^(-4),

Требуется:

1. Определить и построить график спектральной плотности мощности выходного сигнала y(t) .

2. Получить выражение для корреляционной функции R_y(t) выходного сигнала (теорема Винера–Хинчина). Построить график Ry (t) и определить интервал корреляции на уровне 0,1 от максимального значения.

3. Обосновать характер закона распределения (плотности вероятности) выходного сигнала и записать его выражение. Построить график полученного закона распределения.

1. Белый шум – это случайный сигнал, спектральная плотность мощности которого постоянна во всем диапазоне частот.

Рис. 12. Спектральная плотность белого шума и взвешенная дельта-функция

Рис. 12. Структурная схема нелинейного устройства

Рис. 12. График спектральной плотности

Рис. 13. График корреляционной функции

По графику на уровне определяем интервал корреляции: =[-4.54*10^(-5); 4.54*10^(-5) ] c

2. При условии

-эффективная ширина спектра

-полосо пропускания устройства

Наблюдается эыыект нормализации, который означает что не зависимо от закона распространения входного сигнала, закон распространения выходного будут нормальным.

Т.к. для белого шума , а реального устройства конечна, то получим следующий закон распространения на выходе:

Где -среднее знач.случайного процесса, для стационарного процесса равен const

Рис. 14. График нормального распределения сигнала на выходе устройства

6. Задача

На вход нелинейного безинерционного устройства с функцией преобразования y = f(x) воздействует стационарный случайный сигнал x(t) с нормальным законом распределения, математическим ожиданием m_x = 0 и дисперсией D_x.