Основное уравнение релятивистской динамики.

Мы рассмотрели ситуацию, которая складывается в замкнутой системе релятивистских частиц. Однако сразу же возникает вопрос: как будут развиваться события при появлении внешней силы ? Какую форму примет основной закон динамики в СТО?

Согласно принципу относительности Эйнштейна, все законы природы должны быть инвариантны по отношению к ИСО. Другими словами, математические формулировки законов должны иметь один и тот же вид во всех таких системах отсчета. В частности, это относится и к законам динамики.

Одна из формулировок второго закона Ньютона гласит, что производная импульса материальной точки по времени равна действующей на тело силе.

. (6)

Именно в такой формулировке (но не ) уравнение второго закона оказывается инвариантным относительно преобразований Лоренца. Однако приведенное уравнение совпадает с основным уравнением ньютоновской динамики только по виду. Его физический смысл уже совершенно другой: под знаком производной стоит релятивистский импульс, определяемый полученным нами ранее выражением.

Т.о., основное уравнение релятивистской динамики имеет вид:

. (7)

При переходе от одной ИСО к другой необходимо принять, что сила преобразуется по определенным законам. Другими словами, в СТО сила - величина неинвариантная, в разных системах отсчета её численное значение и направление будут различны. В отличие от ньютоновской механики, где силы абсолютны, в теории относительности проекции силы, перпендикулярные направлению вектора относительной скорости систем отсчета, различны в обеих системах. Эти проекции имеют максимальные значения в той системе отсчета, где частица в данный момент покоится, иначе

(8)

Более того, из основного уравнения релятивистской динамики следует неожиданный вывод: вектор ускорения частицы в общем случае не совпадает по направлению с вектором силы. Чтобы показать это, запишем уравнение (7) в такой форме

, (9)

где - релятивистская масса частицы. Выполнив дифференцирование по времени, получим

. (10)

Графически это выражение представлено на рисунке:

Т.о., действительно, вектор ускорения в общем случае не коллинеарен вектору силы .

Ускорение совпадает по направление с вектором всего лишь в двух случаях:

.

1. (продольная сила). В данном случае уравнение (7) можно записать в скалярном виде.

Произведя в левой части уравнения (7) дифференцирование по времени, получаем

, (11)

откуда ускорение, возвращаясь к векторной форме записи, есть

(12)

2. (поперечная сила). В этом случае вектор скорости не изменяется по

модулю, т.е. {следовательно, знаменатель в уравнении (7 ) - }, и уравнение (7 ) принимает вид

(13)

откуда ускорение

. (14)

Нетрудно заметить следующее:

А. При одинаковых значениях силы и скорости поперечная сила сообщает частице большее ускорение, чем продольная. Другими словами, легче изменить направление движения частицы, чем модуль её скорости.

Б. Выражениям, связывающим силу и ускорение , можно придать классический вид второго закона Ньютона, если ввести понятия, так называемой, продольной и поперечной «эффективной массы»:

; (15)

«Эффективная масса» не является индивидуальной характеристикой частицы, лишь отражает отличие лабораторного времени от собственного времени частицы.

И, наконец, отметим, что при малых скоростях основное уравнение релятивистской механики принимает форму основного уравнения механики ньютоновской .

Энергия в релятивистской механике.

Определим кинетическую энергию релятивистской частицы тем же путем, как это делается в классической механике, т.е. как величину, приращение которой равно работе действующей на частицу силы:

. (16)

Т.к. , где релятивистский импульс, и , то

и можем написать

= .

Отсюда получаем . (17)

Для неподвижной в рассматриваемой системе отсчета частицы . Тогда , и

. (18)

Рассматривая излучение света движущимися телами, Эйнштейн понял (это гениальная догадка), что первое слагаемое - полная релятивистская энергия движущегося тела

. (19)

Полученная формула очень важна. Она показывает, частности, что в релятивистской механике энергия свободной частицы не обращается в нуль при .

В классической физике, в отсутствие внешних полей (или без учета потенциальной энергии тела во внешнем поле), при энергия тела равна нулю.

Совершенно иначе обстоит дело в СТО. Из полученного выражения (19) следует, что покоящееся тело также обладает энергией

. (20)

Эту энергию называют энергией покоя или собственной энергией.

Используя выражение для релятивистской массы, можем (19) переписать в виде:

, (21)

где полная энергия частицы.

Закон сохранения энергии выполняется именно для величины .

В отличие от классической механики, как мы покажем ниже, закон сохранения энергии выполняется как при упругих, так и при неупругих взаимодействиях.

Следует отметить, что энергия , как и импульс не являются релятивистскими инвариантами и имеют различные значения в разных системах отсчета.

Из выражений, полученных для релятивистских импульса (5) и энергии (19), вытекает соотношение между энергией, импульсом и скоростью свободной частицы

. (22)

Из (5) и (19) следует также, что при импульс и энергия частицы обращаются в бесконечность, если . Этот результат следует понимать так, что частицы с отличной от нуля массой покоя не могут двигаться со скоростью света. В релятивистской механике, однако, могут существовать частицы с массой покоя, равной нулю, движущиеся со скоростью света. Для таких частиц (фотон, нейтрино) формула (22) принимает вид

. (23)

Движение “безмассовой” частицы со скоростью не есть результат предшествующего ускорения, а является единственным состоянием, в котором частица может существовать. Остановка частицы равносильна её исчезновению (поглощению).

Несмотря на то, что мы часто употребляем термин «частица», такое её свойство, как «элементарность», нигде не используется. Поэтому полученные формулы в равной степени применимы к любому сложному телу, состоящему из многих частиц, причем под надо понимать полную массу тела, а под - скорость его движения как целого. В частности, формула справедлива и для любого покоящегося как целое тела ( ).

Энергия покоящегося тела включает в себя, помимо энергий покоя входящих в его состав частиц, кинетические энергии этих частиц и энергию их взаимодействия друг с другом. Поэтому в релятивистской механике не имеет места закон сохранения массы: масса покоя сложного тела не равна сумме масс покоя его частей. В то же время выполняется универсальный (как для упругих, так и неупругих взаимодействий) сохранения полной энергии ( ), в которую включается также и энергия покоя частиц.

Рассмотрим этот вопрос более подробно, представив энергию покоящегося тела следующим выражением

(24)

где - полная (без учета взаимодействия) энергия частицы;

– суммарная энергия взаимодействия всех частиц системы.

Если энергия взаимодействия частиц пренебрежимо мала (система слабовзаимодействующих частиц), и выражение (24) принимает вид

,

откуда следует, что энергия и импульс системы обладают аддитивными свойствами.

Однако масса покоя такой системы не равна сумме масс покоя образующих её частиц. Действительно, в системе центра масс каждая из частиц может обладать еще и кинетической энергией, т.е.

.

Поэтому для системы слабовзаимодействующих частиц всегда выполняется соотношение:

. (25)

Иначе обстоит дело в системе частиц, взаимодействием между которыми нельзя пренебречь ( ), поскольку в различных случаях энергия взаимодействия может быть как положительной, так и отрицательной величиной, и будет определять соотношение между массой покоя системы в целом и суммой масс покоя входящих в неё частиц.

Рассмотрим ядерную реакцию типа

, (26)

где слева – исходные ядра, справа – ядра – продукты реакции.

Применим к этой реакции закон сохранения полной энергии.

. (27)

Имея в виду, что полная энергия каждой частицы может быть представлена как

, (28)

где масса покоя соответствующего ядра, – его кинетическая энергия, перепишем предыдущее равенство так:

, (29)

где и – суммарные кинетические энергии ядер до и после реакции. Отсюда

. (30)

Левая часть этого равенства есть приращение суммарной кинетической энергии ядер данной системы – то, что называют энергетическим выходом ядерной реакции и обозначают буквой .

. (31)

Т.о. энергетический выход ядерной реакции определяется разностью суммарных масс покоя ядер до и после реакции. В зависимости от характера реакции эта величина может иметь любой знак.

Спонтанный распад частицы. Пусть покоящаяся частица самопроизвольно распадается на две частицы.

. (32)

В соответствии с законом сохранения полной энергии

. (33)

Т.к. для каждой частицы , то

(34)

где - суммарная кинетическая энергия образовавшихся частиц.

Эту энергию называют энергией распада .

Самопроизвольный распад возможен только при условии, что масса покоя первичной частицы больше масс покоя образующихся частиц.

. (35)

В противном случае ( ) такой процесс невозможен, т.е. частица стабильна. Эксперимент полностью подтверждает этот вывод.

В заключение параграфа сделаем замечание, касающееся того вклада в полную энергию системы, который мы обозначили символом .

В классической механике так вводилась потенциальная энергия взаимодействия частиц системы, зависевшая при определенном характере взаимодействия только от конфигурации системы. В релятивистской динамике не рекомендуется употреблять понятие “потенциальная энергия взаимодействия”. Это обусловлено тем обстоятельством, что потенциальная энергия в каждый момент времени определяется относительным расположением частиц системы. Изменение конфигурации системы должно мгновенно вызывать изменение и потенциальной энергии. Так как в силу конечной скорости распространения взаимодействий это условие не может быть выполнено, само введение понятия потенциальной энергии взаимодействия вряд ли может быть корректным.

Взаимосвязь массы и энергии .

Всякое изменение энергии тела (за исключением изменения потенциальной энергии во внешнем поле сил) сопровождается изменением массы тела и наоборот, всякое изменение массы тела сопровождается изменением его энергии .

Это утверждение носит название закона взаимосвязи или закона пропорциональности массы и энергии.

Эйнштейновское утверждение об эквивалентности массы и энергии не следует понимать в том смысле, что масса и энергия суть одно и то же. Это разные характеристики движущегося тела, пропорциональные друг другу. Поэтому всякое изменение релятивистской массы сопровождается изменением энергии.

Взаимосвязь между превращениями массы и энергии (и количественное соотношение между их приращениями) рассматривалась Эйнштейном как самый значительный вывод теории относительности.

Формула

выражает один из наиболее фундаментальных законов природы – закон взаимосвязи (пропорциональности) массы и полной энергии тела. Смысл этого соотношения таков: общая энергия тела, из каких бы видов энергии она не состояла (с приведенной выше оговоркой), связана с массой этого тела приведенным соотношением.

Приведенная формула связывает две важнейшие характеристики материи: энергию и массу как меру инертности, поэтому всякая энергия (полная, кинетическая, внутренняя) обладает инертными свойствами.

Основываясь на выражении, связывающем массу и энергию, можно сказать, что наряду такими толкованиями как мера инертности и мера гравитационного действия масса может рассматриваться в качестве меры энергосодержания тела (системы).