12

Релятивистская динамика.

Релятивистский импульс.

Обратимся сначала к основным положениям ньютоновской механики, которые гласят

1. Импульс частицы определяется как , где масса частицы, не зависящая от её скорости.

2. Импульс замкнутой системы частиц сохраняется во времени в любой ИСО.

Т.о., импульс в классической механике является одним из важнейших интегралов движения, поскольку сохраняется при любых (упругих и неупругих) взаимодействиях.

Поскольку само построение СТО основывается на иной аксиоматике (постулатах), нежели та, что положена в основу классической механики, и, соответственно, изменяются правила преобразования кинематических величин, определяющих значение импульса в различных инерциальных системах отсчета, резонно задаться вопросом, будет ли выполняться закон сохранения ньютоновского импульса замкнутой системы релятивистских частиц?

Рассмотрим столкновение двух частиц – система предполагается замкнутой, – основываясь на принципах специальной теории относительности.

Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета движутся навстречу друг другу две одинаковые частицы и ( ) с одинаковыми по модулю скоростями под углом к оси (рис. а).

Предположим, что произошло абсолютно неупругое соударение, тогда образовавшаяся частица в системе будет неподвижна.

Очевидно, что в системе суммарный импульс замкнутой системы частиц сохраняется: до и после столкновения он равен нулю.

Введем системы отсчета и , движущиеся относительно системы со скоростями вправо и влево, соответственно. Причем и - компоненты скоростей частиц и в системе отсчета.

Понятно, что частица в системе ( ) и частица в системе отсчета ( ) движутся только относительно осей ординат этих систем, причем с одинаковыми по модулю скоростями:

, (1)

где и .

Рассмотрим теперь картину столкновения в системе, где частица движется со скоростью в направлении оси .

Обозначим составляющую скорости частицы 2 в системе .

Эта частица движется со скоростью против оси системы и перемещается влево вместе с системой со скоростью относительно системы.

Поэтому

, т.к. . (2)

Поскольку составляющие импульсов частиц, определяемые в системе как и , различны по величине ( ), то оказывается, что в системе составляющая суммарного импульса частиц до столкновения отлична от нуля. Однако компонента образовавшейся в результате столкновения частицы, как в так и в системе остается равной нулю (поскольку частица неподвижна в системе, то её компонента равна нулю и в системе).

В то же время составляющая суммарного импульса частиц в результате взаимодействия не изменяется (образовавшаяся частица будет двигаться вдоль оси ), в чем легко убедиться, используя правило преобразования компонент скоростей частиц.

система движется вправо относительно системы со скоростью . Поэтому компоненты скоростей частиц до столкновения и компонента скорости образовавшейся частицы, соответственно, равны

; ;

Очевидно, что для замкнутой системы релятивистских частиц закон сохранения импульса в его ньютоновской формулировке не выполняется.

Перед СТО возникает альтернатива: отказаться или от закона сохранения импульса, или от ньютоновского определения этой величины.

Учитывая громадную роль, которую играют законы сохранения, в теории относительности в качестве фундаментального принимают именно закон сохранения импульса и уже, исходя из этого, находят математическую форму для выражения самого импульса.

Здесь же возникает естественный вопрос: какую ценность может представлять закон сохранения импульса, если импульс определяют именно так, чтобы он сохранялся? Ответ на этот вопрос дается следующим образом. Представим себе частицу, которая при своем движении сталкивается с другими частицами. Рассмотрев первое столкновение, определим импульс так, чтобы выполнялся закон его сохранения в данном взаимодействии. Но при последующих столкновениях положение уже изменится: мы будем знать импульсы частиц, участвующих в этих взаимодействиях, и теперь закон сохранения импульса (если он действительно имеет место) будет выполняться уже не по определению, а в силу глубинных законов природы.

Опыт показывает, что таким образом определенный импульс действительно подчиняется закону сохранения. По крайней мере, до сих пор не обнаружено ни одного явления, где бы этот закон нарушался.

Итак, потребуем, чтобы в рассматриваемом нами примере закон сохранения импульса выполнялся и в системе, т.е. положим . Тогда

. (3)

Если принять и , то в системе представляет собой массу покоящейся частицы. Её обозначают и называют массой покоя. Учитывая также, что в рассматриваемом случае оказывается равной скорости частицы 2 относительно частицы 1, последнюю формулу можно переписать

. (4)

Теперь, исходя из того, что частицы одинаковые ( ), массу можно рассматривать как массу движущейся частицы.

М асса , называемая релятивистской, больше массы покоя и зависит от скорости частицы. Другими словами, масса одной и той же частицы будет различной в разных ИСО.

В то же время, масса покоя частицы величина инвариантная, т.е. одинаковая во всех системах отсчета. По этой причине можно утверждать, что именно масса покоя является характеристикой частицы.

И, наконец, запишем выражение для релятивистского импульса частицы:

. (5)

Опыт подтверждает, что таким образом определенный импульс действительно подчиняется закону сохранения, независимо от выбора ИСО.

Отметим, что при из полученного выражения следует ньютоновское определение импульса и не зависит от скорости частицы. Из рисунка видно, что различие между импульсами, определенными двумя

способами становится весьма значительным по мере приближения скорости частицы к скорости света.