12.3. О траектории движения частицы.
Представим компоненты импульса, записанного в полярных координатах, следующим образом:
(12.14)
Далее, т.к. угол между вектором угловой скорости и радиус-вектором равен , то
.
Тогда из (12.10а, 12.12 и 12.14) для энергии и момента импульса частицы, движущейся в центральном поле, получаем
. (12.15)
Из второго уравнения (12.15) получаем
.
Разделяя переменные, находим в неявном виде зависимость :
. (12.16)
Из первого уравнения (12.15) имеем
.
Исключив из уравнений (12.15) время , находим уравнение траектории частицы в центральном поле в полярных координатах (связь между и ):
. (12.17)
12.4.Границы движения.
Значения , при которых энергия частицы равна
, (12.18)
определяют границы области движения по расстоянию от центра поля. При выполнении равенства (12.18) радиальная скорость обращается в нуль. Однако равенство нулю ( ) радиальной составляющей скорости не означает, что частица остановилась, т.к. азимутальная (угловая) компонента скорости отлична от нуля ( ), поскольку в центральном поле . Равенство определяет “точку поворота” траектории, в которой функция достигает либо максимального, либо минимального значения, после чего начинает, соответственно, убывать или возрастать.
Если область допустимого изменения ограничена лишь условием , то движение частицы инфинитно – её траектория приходит из бесконечности и уходит на бесконечность.
Если область изменения имеет две границы и , то движение является финитным и траектория частицы лежит внутри кольца, ограниченного окружностями и , определяющими границы движения. Однако траектория при этом может оставаться незамкнутой.
За время прохождения одной петли (от до и снова до ) радиус-вектор частицы совершит поворот на угол
. (12.19)
Условие замкнутости траектории: траектория будет замкнутой, если , где и - целые
числа, т.е. за одну петлю радиус-вектор должен повернуться
на угол, равный рациональной части от .
Тогда через повторений этого периода времени радиус-
вектор точки, сделав полных оборотов, совпадет со своим
первоначальным значением, т.е. траектория замкнется.
Однако такой исход является скорее исключением,
нежели правилом. Существуют лишь два типа центральных
полей, в которых все траектории финитных движений
замкнуты. Это поля, где зависимость потенциальной энергии
от расстояния от центра поля имеет вид:
.