Швидкість точок тіла при його плоскому русі

Знайдемо швидкість точок тіла, яке виконує плоский рух. Візьмемо за полюс точку . Використаємо формули (3.1) і (3.2). Візьмемо похідну по часу від виразу (3.1)

,

де , , – обертальна швидкість точки навколо точки (рис. 3.5). Маємо

. (3.4).

Ш видкість будь-якої точки тіла при його плоскому русі дорівнює векторній сумі швидкості полюса і обертальної швидкості цієї точки навколо полюса.

Запис означає, що точка обертається навколо точки .

При обертальному русі модуль швидкості дорівнює , де – кутова швидкість тіла при його обертанні навколо полюса . Обертальна швидкість перпендикулярна радіусу обертання . Якщо використати формулу Ейлера, то , де – вектор кутової швидкості тіла, напрямлений по осі обертання, що проходить через точку , до нас.

Формулу (3.4) можна записати в такому вигляді:

. (3.5)

Наслідок 1: Проекції швидкостей точок плоскої фігури на лінію, що проходить через ці точки, рівні.

Н ехай тіло виконує плоский рух. Візьмемо за полюс точку , швидкість якої (рис. 3.6). Швидкість точки рівна . Спроектуємо цей вираз на лінію , маємо , але , тому . Отже

. (3.6)

Вираз (3.6) можна записати інакше:

. (3.7)

Н аслідок 2: Кінці векторів швидкостей точок плоскої фігури, які лежать на одній прямій, також лежать на одній прямій і ділять її на частини, пропорційні відстаням між цими точками.

На рис. 3.7 показані три точки , , , які лежать на одній прямій, швидкості точок відповідно становлять , , . Тоді

. (3.8)

Для доведення треба провести перпендикуляри до з кінців векторів швидкості, використати властивість пропорційності відрізків прямих, що відтинаються паралельними лініями та застосувати наслідок 1.

Прискорення точок тіла при його плоскому русі

Візьмемо за полюс точку , прискорення якої відоме. Знайдемо прискорення іншої точки цього тіла.

Для цього візьмемо похідну по часу від векторного виразу (3.5), маємо:

.

Тут , – відповідно прискорення точок і , – вектор кутового прискорення, – обертальна швидкість точки навколо точки . Отже, прискорення точок і пов’язані між собою співвідношенням:

. (3.9)

Векторний добуток позначимо через і назвемо дотичним прискоренням точки при обертанні її навколо полюса :

. (3.10)

Вектор прискорення перпендикулярний вектору і лежить у площині плоскої фігури. Модуль можна знайти з формули:

. (3.11)

Позначимо через – нормальне прискорення точки при обертанні її навколо полюса :

. (3.12)

Вектор обертальної швидкості точки при обертанні її навколо полюса перпендикулярний вектору і лежить у площині плоскої фігури. Векторний добуток дає вектор, який лежить у площині фігури і напрямлений вздовж до вибраного полюса . Вектори і перпендикулярні, отже модуль нормального прискорення буде . Враховуючи те, що , маємо:

. (3.13)

Співвідношення між векторами прискорень точок плоскої фігури, з урахуванням позначень (3.10) і (3.12), запишеться у вигляді:

. (3.14)