Системы счисления
(приложение к методическим указаниям по информатике)
Система счисления – совокупность приемов наименования и записи чисел, с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.
Пример 1
358 символы 3, 5 и 8 из алфавита 0÷9
Основание системы счисления – количество цифр в алфавите.
0÷9 - десятичная система счисления.
35810 - признак основания системы счисления.
Позиционная система счисления – система, в которой значение каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в последовательности цифр, изображающих число.
Пример2
десятичная система
-
3
5
1
5
пятьсот
пять
Число в позиционной системе счисления можно представить в виде полинома
N – целое число (рассматриваем только их на данном занятии)
k – основание системы
аn аn-1 аn-2 … а1 а0 – последовательность цифр (число).
Пример 3
41810 = 4 ∙ 102 + 1 ∙101 + 8 ∙ 100
Наибольшее распространение в информатике и ВТ получили:
двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления.
Алфавиты:
-
10
0, 1, 2, 9
DEС
2
0, 1
BIN
8
0, 1, 2, …, 7
OCT
16
0, 1, 2, …, 9, А, B, C, D, E, F
HEX
Заметим, что 8 = 23, 16 = 24.
Чем больше основание системы, тем меньше цифр необходимо для отображения числа.
Пример 4
4110 = 1010012 = 518 = 2916
Алгоритм перевода чисел из системы с основанием Р в десятичную
1. Пронумеровать разряды справа налево, начиная с нулевого.
2. Вычислить сумму произведений цифр в соответствующих разрядах на основание системы в степени, равной номеру разряда.
-
100112
4
3
2
1
0
1
0
0
1
1
100112 = 1910 1·24 + 0·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20 = 19
Алгоритм перевода чисел из 10-тичной в систему счисления с обоснованием Р
1. Число делится на Р. Остаток запоминается.
2. Частное вновь делится на Р. Остаток запоминается.
3. Процедура повторяется до тех пор, пока частное не станет меньше Р или равным нулю.
4. Остатки выписываются справа налево в порядке их получения.
Пример 5
а) 4610 → в двоичную
-
46
: 2
-46
23
: 2
Младший разряд
0
-22
11
: 2
1
-10
5
: 2
1
-4
2
: 2
1
-2
1< P
0
1
Старший разряд
4610 = 1011102
Проверка: 1·25 + 0·24 + 1·23 + 1·22 + 1·21 + 0·20 = 46
б) 6010 → в шестнадцатеричную
А
10
B
11
C
12
D
13
E
14
F
15
-
364
: 16
-352
22
: 16
Младший разряд
12
-16
1< P
6
1
Старший разряд
36410 = 16С16
Проверка: 1·162 + 6·161 + 12·160 = 256 + 96 + 12
Алгоритм перевода чисел из двоичной системы счисления в систему с основанием, 2n
1. Объединить цифры двоичного числа в группы по столько цифр, сколько степень двойки в основании системы (справа налево группировка).
2. Переводим группы цифр в цифры нужного алфавита.
Пример 6
11001002 → ОСТ и НЕХ
001 100 100 в основании системы 23 (если надо добавим нули)
1 4 4 1448
0110 0100 в основании системы 24 (если надо добавим нули)
6 4 6416
Арифметические действия в позиционных системах счисления, выполняются аналогично вычислениям в десятичной системе счисления
Пример 7
2110 + 8110 = 10210
-
2
1
+
8
1
1
0
2
Для других систем счисления необходимо составить таблицы простейших действий.
Для двоичной системы:
-
сложение
умножение
0
1
0
1
0
1
0
1
+
+
+
+
×
×
×
×
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
10
переполнение разрядной сетки и перенос единицы в старший разряд
0
0
0
1