
Приклад розв’язання задачі д.5. Третій рівень складності.
Механічна система складається з вертикальної прямокутної плити, яка рухається вздовж горизонтальних напрямних, і тягаря
D.
Маса плити m1=12
кг,
маса тягаря m2=2
кг. В початковий момент часу (t0=0),
коли швидкість плити u0=2
м/с, тягар під дією внутрішніх сил починає
рухатись по жолобу плити,
який
являє
собою
коло радіуса R
=0,7
м. Під час руху тягаря по жолобу кут
змінюється за законом
рад.
Тягар D вважати матеріальною точкою.
Дано:
m1=12
кг; m2=2
кг; u0=2
м/с; R=0,7
м;
рад.
Визначити: x1—переміщення плити за проміжок часу від t0=0 до t1=1 c, u1 і N1—значення швидкості плити і повної нормальної реакції напрямних при t1=1 c.
Розв’язання. Розглянемо механічну систему, що складається з плити і тягаря D, в довільному положенні і прикладемо всі зовнішні сили, які діють на неї: сили ваги і , силу реакції напрямних. Проведемо координатні вісі Oxy так, щоб вісь Oy проходила через точку C0, де знаходився центр мас плити в момент часу t0=0 (рис. 21.15).
Для визначення x1 скористаємось теоремою про рух центра мас механічної системи в проекції на вісь Ox:
.
(1)
Визначимо значення MxC. З формули, яка визначає координату xC центра мас системи, одержимо
(2)
З рисунка 21.15 видно, що
.
(3)
Тоді
(4)
Двічі проінтегруємо рівняння (2) і одержимо
;
,
(5)
де C1 і C2—сталі інтегрування.
Рис. 21. 15.
Тоді
(6)
Для визначення C1 і C2 знайдемо ще одне рівняння, яке одержимо, взявши похідну за часом від обох частин рівняння (6):
,
(7)
де
-
швидкість плити.
При
t0=0;
x0
=0;
,тоді
;
.
(8)
При цих значеннях С1 і С2 рівняння (6) приймає вигляд
(9)
Визначимо залежність координати x від часу t:
(10)
При t1=1 c
м.
Для визначення загальної нормальної реакції напрямних скористаємось знову теоремою про рух центра мас системи, але в проекції на вісь Oy :
(1)
,
(2)
звідки
. (3)
З формули, яка визначає ординату yC центра мас системи одержимо
,
(4)
тут y—ордината центра ваги плити, yD—ордината тягаря D.
З рисунка 21.15 визначимо, що
;
.
Тоді
(5)
Візьмемо від обох частин рівняння (5) дві похідні за часом:
Оскільки
,
то
і
(6)
Тоді
(7)
При t1 =1 c
Н.
Для визначення швидкості u1 плити використаємо теорему про зміну кількості руху системи в проекції на вісь Ox:
;
(1)
.
(2)
Дана механічна система складається з плити та тягаря D, тому
(3)
Тут
-
кількість руху плити,
- кількість руху тягаря D
.
Тягар виконує складний рух. Вважаючи рух тягаря D разом з плитою переносним, а його рух по відношенню до плити (по колу радіуса R)—відносним рухом, для абсолютної швидкості тягаря одержимо
;
. (4)
де
; направлена швидкість
по дотичній до кола радіуса
.
Тоді
.
Переносна швидкість .
Тоді
.
Рівняння (2) приймає вигляд
;
.
(5)
При
t0=0
u=u0
і
.
Одержимо
звідки
(6)
При t1=1 c
м/с.
Відповідь:
м;
м/с;
Н.
Примітка.
При
необхідності визначення прискорення
плити
потрібно скористатись методикою
розв’язання, наведеною в прикладі
першого рівня складності.