Приклад розв’язання задачі д.5. Другий рівень складності.

Механічна система складається з прямокутної плити, яка розташована вертикально і рухається вздовж горизонтальних напрямних, та тягаря D. Маса плити m₁=16 кг, маса тягаря m₂=4 кг. В початковий момент часу t₀=0, коли швидкість плити u₀=4 м/с, тягар під дією внутрішніх сил починає рухатись по прямолінійному жолобу плити за законом S=0,3(2 - 6t²) м. Тягар вважати матеріальною точкою.

Дано: m₁=16 кг; m₂=4 кг; u₀=4 м/с; t₁=1 c; S=0,3(2 - 6t²) м.

1.Визначити: x₁—переміщення плити за проміжок часу від t₀=0 до t₁=1 c, а також u₁– швидкість плити при t₁=1 c.

Розв’язання. Розглянемо механічну систему, що складається з плити та тягаря D. Зобразимо на рисунку 21.14 систему в довільному положенні і покажемо всі зовнішні сили, які неї діють: сили ваги і та загальну реакцію напрямних.

Проведемо координатні вісі Oxy так, щоб вісь Oy проходила через точку C₀, де знаходився центр мас плити в момент часу t₀=0.

Для визначення x₁ скористаємось теоремою про рух центра мас механічної системи в проекції на вісь Ox:

Рис. 21. 14.

. (1)

Визначимо значення Mx_C. З рисунка 21.14 видно, що в довільний момент часу x—абсциса центра мас плити, а x_D –абсциса точки D:

, (2)

тут тоді

З формули, яка визначає координату x_C центра мас системи, одержимо

(3)

Двічі проінтегруємо рівняння (2) і одержимо, що

; , (4)

де C₁ і C₂—сталі інтегрування.

Тоді

(5)

Для визначення C₁ і C₂ знайдемо ще одне рівняння, яке одержимо, взявши похідну за часом від обох частин рівняння (5):

, (6)

де - швидкість плити.

При t₀=0; x₀ =0; , тоді:

;

. (7)

При цих значеннях С₁ і С₂ рівняння (5) приймає такий вигляд:

(8)

Звідси визначимо залежність координати x від часу t:

(9)

При t₁=1 c

м/с.

Тепер визначимо швидкість плити u₁. Для цього скористаємось теоремою про зміну кількості руху системи в проекції на вісь Ox:

, (1)

тобто Q_x =C₁ =const . (2)

Для даної механічної системи:

(3)

де —кількість руху плити, —кількість руху тягаря D.

Тягар D виконує складний рух, тому швидкість – це абсолютна швидкість тягаря:

;

. (4)

Тут , значить . Вектор направлений по жолобу, а чисельно:

.

Знак показує, що вектор направлений в бік зменшення координати S.

Тоді

(5)

З урахуванням рівностей (3) і (5) рівняння (2) приймає вигляд

При t₀=0 u=u₀, тоді

звідки

При t₁=1 с

м/с.

Відповідь: x₁=3,82 м, u₁=3,64 м/с.

Примітка. При необхідності визначення величини прискорення плити a₁ або загальної нормальної реакції напрямних N₁ при t₁=1 с, потрібно скористатись методикою, викладеною в прикладі розв’язання задачі Д.5 першого рівня складності.