Случайные сигналы

В отличие от детерминированных сигналов, форму которых мы знаем точно, мгновенные значения случайных сигналов заранее не известны и могут быть предсказаны лишь с некоторой вероятностью, меньшей единицы. Характеристики таких сигналов являются статистическими, то есть имеют вероятностный вид.

В радиотехнике существует два основных класса сигналов, нуждающихся в вероятностном описании. Во-первых, это шумы - хаотически изменяющиеся во времени электромагнитные колебания, возникающие в разнообразных физических системах из-за беспорядочного движения носителей заряда. Во-вторых, случайными являются все сигналы, несущие информацию, поэтому для описания закономерностей, присущих осмысленным сообщениям, также прибегают к вероятностным моделям.

Рис. 1.30. Реализации гармонического сигнала со случайной начальной фазой

Гармонический сигнал со случайной начальной фазой

Во многих практических задачах используется модель случайного процесса, реализации которого представляют собой гармонические колебания с известными (детерминированными) амплитудой и частотой, но случайной начальной фазой. Таким образом, реализация рассматриваемого случайного процесса может быть записана как

x(t) = A cos(ω₀t + φ),

где A - амплитуда (детерминированная), ω₀ - частота (детерминированная) и φ - случайная начальная фаза, которая в большинстве практически интересных случаев может считаться равномерно распределенной на интервале 0...2π, то есть имеющей следующую плотность вероятности:

Графики нескольких реализаций данного случайного процесса, представляющие собой синусоиды, смещенные друг относительно друга по временной оси, показаны на рис. 1.30.

Как видите, конкретный вид реализации процесса в данном случае определяется значением всего лишь одной случайной величины - начальной фазы.

ЗАМЕЧАНИЕ

Случайные процессы, конкретный вид реализаций которых определяется значениями конечного числа параметров (случайных величин), иногда называют квазидетерминированными случайными процессами.

реальный случайный процесс белым шумом.

Белый шум

В радиотехнике белым шумом (white noise) называют стационарный случайный процесс, спектральная плотность мощности которого постоянна на всех частотах и отсчеты которого некоррелированы друг с другом:

W(ω) - W₀ = const.

Согласно теореме Винера-Хинчина, корреляционная функция белого шума представляет собой дельта-функцию:

то есть равна нулю всюду, кроме точки τ = 0. Дисперсия аналогового белого шума бесконечно велика, а дискретного – не является бесконечной, а значить физически реализуема.

Корреляционный анализ

Корреляционный анализ наряду со спектральным играет большую роль в теории сигналов. Говоря кратко, его смысл состоит в количественном измерении степени сходства различных сигналов. Для этого служат корреляционные функции.

Корреляционная функция (КФ; английский термин - correlation function, CF) детерминированного сигнала с конечной энергией представляет собой интеграл (в бесконечных пределах) от произведения двух копий сигнала, сдвинутых друг относительно друга на время т:

Корреляционная функция показывает степень сходства между сигналом и его сдвинутой копией - чем больше значение корреляционной функции, тем это сходство сильнее.

В качестве примера вычислим КФ прямоугольного импульса, показанного ранее на рис. 1.12:

• при 0 ≤ τ ≤ T

• при - T ≤ τ < 0

• при |τ| > T

B_s(τ) = 0.

Объединяя результаты, можно записать

График КФ прямоугольного импульса показан на рис. 1.26.

Рис. 1.26. Корреляционная функция прямоугольного импульса

Если КФ показывает степень сходства между сдвинутыми копиями одного и того же сигнала, то взаимная корреляционная функция (ВКФ; английский термин - cross-correlation function, CCF) позволяет измерить аналогичную величину для сдвинутых экземпляров двух разных сигналов.

Общий вид формулы КФ сохраняется, но под интегралом стоит произведение двух разных сигналов, один из которых задержан на время τ:

Таким образом, корреляционная функция случайного процесса и его спектральная плотность мощности связаны друг с другом преобразованием Фурье. Это соотношение носит название теоремы Винера-Хинчина.

Так как и R(τ), и W(ω) являются четными вещественными функциями, можно отказаться от комплексной формы записи преобразования Фурье и перейти к полубесконечным пределам интегрирования:

Очень часто используемая модель случайного процесса оказывается такова, что воспользоваться непосредственно определением (1.45) для расчета спектральной плотности мощности не представляется возможным. Если при этом удается вычислить корреляционную функцию, получить спектральною информацию позволяет теорема Винера-Хинчина.