МОДУЛЬ № 3
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ. ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ.
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ.
Векторы на плоскости и в пространстве.
Основные понятия.
Линейные операции над векторами.
Проекция вектора на ось.
Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы вектора.
Скалярное произведение векторов и его свойства.
Определение скалярного произведения.
Свойства скалярного произведения.
Выражение скалярного произведения через координаты.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ по теме: «Элементы векторной алгебры»
1. Найти
координаты вектора
,
если А(-1; 2; -4); В(2;-4;-1).
2. Найти
длину вектора
,
если
;
.
3.
.
Найти у.
4.
.
Найти координаты вектора
,
если координаты вектора
.
5.
При каких
и
векторы
коллинеарны?
6.
Коллинеарны ли векторы
и
?
Если коллинеарны, то какой из них длиннее
и во сколько раз? Как они направлены: в
одну или противоположные стороны?
7.
Найти орт вектора
.
8.
Вычислить координаты вектора
,
если
;
углы, которые этот вектор составляет с
осями координат Ох; Оу; Оz
равны соответственно
9.
Вектор
составляет с осями координат Оу и Оz
углы
Какой угол этот вектор составляет с
осью Ох?
10.
;
;
.
Найти координату х
вектора .
11. Найти
направляющие косинусы вектора
,
если
.
12. Найти
координаты вектора
в
базисе
.
13. Разложить
вектор
по векторам
.
14.
.
Угол между векторами
и
равен
.
Найти скалярное произведение векторов
.
15.
.
Найти
.
16. При
каком
векторы
;
взаимно перпендикулярны?
17. Найти
угол между векторами
;
.
18. Даны
вершины треугольника
.
Определить его внутренний угол при
вершине С.
19. Есть
ли среди векторов
пары взаимно перпендикулярных? Ответ
обосновать.
20. Найти
координаты вектора
зная, что он перпендикулярен векторам
и
,
и удовлетворяет условию
.
ОТВЕТЫ к задачам темы «Элементы векторной алгебры»:
1. Ответ:
;
2. Ответ:
;
3. Ответ:
;
4. Так
как
то
;
5. 6;
1,5; 6.
;
7.
;
8.
;
9.
или
;
10. 4;
11.
;
12.
;
13.
;
14. 9;
15.
;
16. 5;
17.
;
18.
;
19.
,
так как
;
20.
.
ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ
Прямая линия на плоскости.
Линии второго порядка на плоскости: окружность; эллипс; гипербола; парабола.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ по теме: «Линии на плоскости»
1. Принадлежит
ли точка
прямой
?
2. Точка
принадлежит
прямой
.Найти
у.
3. Прямая
задана уравнением
.
Написать уравнение этой прямой
а) с угловым коэффициентом;
б) в отрезках на осях.
4. Задана
прямая
.
Указать:
а) один из векторов нормали этой прямой;
б) один из направляющих векторов этой прямой.
5. Составить
уравнение прямой, проходящей через
точку
перпендикулярно
вектору
.
6. Написать
уравнение прямой, проходящей через
точку А перпендикулярно вектору
,
если
.
7.
Составить уравнение прямой, проходящей
через точку
параллельно
вектору
.
8. Прямая
задана уравнением
.
Составить уравнение прямой, проходящей
через точку
а) параллельно данной прямой;
б) перпендикулярно данной прямой.
9. Составить
уравнение прямой, проходящей через
точки
.
10. Заданы
уравнения двух прямых
;
при каких значениях
эти прямые
а) параллельны?
б) перпендикулярны?
11. Заданы
вершины треугольника АВС:
.
Составить уравнение стороны АВ и медианы
ВМ.
12. Найти
угол между прямыми
.
13. Найти
расстояние от точки
до прямой
.
14. Составить
уравнение окружности, проходящей через
начало координат, если центр окружности
находится в точке
.
Построить эту окружность.
15. На
кривой
найти точки, ордината которых равна
.
Построить кривую и найденные точки.
16. Вычислить
площадь треугольника, образованного
асимптотами гиперболы
и прямой х
= 1. Сделать чертеж.
17. Построить линии, заданные уравнениями:
17.1.
;
17.2.
;
17.3.
;
17.4.
;
17.5.
;
17.6.
;
17.7.
;
17.8.
;
17.9.
;
17.10.
;
17.11.
;
17.12.
;
17.13.
;
17.14.
;
17.15.
.
ОТВЕТЫ к задачам темы «Линии на плоскости».
1. Нет,
не принадлежит; 2.
;
3. а)
;
б)
;
4. а)
;
б)
;
5.
;
6.
;
7.
;
8. а)
;
б)
;
9.
;
10. а)
;
б)
;
11.
;
;
12.
;
13.
;
14.
.
15.
;16.
.
УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Уравнения плоскости в пространстве.
Уравнения прямой в пространстве.
Прямая и плоскость в пространстве.
Канонические уравнения поверхностей второго порядка
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ по теме: «Поверхности и линии в пространстве»
1. Составить
уравнение плоскости, проходящей через
точку
перпендикулярно вектору
.
2. Найти
координаты точек пересечения плоскости
с осями координат.
3. Найти
направляющие косинусы вектора нормали
плоскости
.
4. При
каких значениях параметров а
и
уравнения
и
определяют параллельные плоскости?
5. При
каком значении параметра а
уравнения
и
определяют перпендикулярные плоскости?
6. Найти
расстояние от точки
до плоскости
.
7. Составить
канонические уравнения прямой, проходящей
через точку
перпендикулярно плоскости
.
8. Составить
канонические уравнения прямой, проходящей
через точки
и
.
9. Составить
канонические уравнения прямой, проходящей
через точку
параллельно
а) прямой
;
б) оси
.
10. Найти
точку пересечения прямой
и плоскости
.
11. Прямая
задана как линия пересечения двух
плоскостей
.
Написать ее канонические и параметрические
уравнения.
12. Составить
канонические уравнения прямой, проходящей
через точку
параллельно прямой
.
13. Доказать перпендикулярность прямых
и
.
14. Найти
проекцию точки
на плоскость, заданную уравнением
.
15. Найти
проекцию точки
на прямую, заданную уравнением
.
16. Найти точку, симметричную точке относительно прямой .
17. Найти точку, симметричную точке относительно плоскости .
18. Найти
угол между прямой
и
плоскостью
.
19. Составить
уравнение плоскости, проходящей через
ось
параллельно вектору
.
20. Построить
на плоскости
проекцию линии пересечения плоскости
и поверхности
,
если:
20.1.
;
20.2.
;
20.3.
.
ОТВЕТЫ к задачам темы «Поверхности и линии в пространстве».
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
;
6.
;
7.
;
8.
;
9. а)
;
б)
;
10.
;
11.
;
;
12.
;
14.
;
15.
;
16.
;
17.
;
18.
;
19.
.
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ по темам: «Элементы векторной алгебры. Линии на плоскости. Поверхности и линии в пространстве».
1. Найти
координаты вектора
,
если
.
2. Найти длину вектора , если .
3.
Найти координаты
вектора
,
если
.
4. Коллинеарны
ли векторы
?
Если коллинеарны, то какой из них длиннее
и во сколько раз, как они направлены: в
одну или противоположные стороны?
5. При
каком
векторы
перпендикулярны?
6. Найти угол между векторами .
7. Задана
прямая
.
Указать:
а) один из векторов нормали этой прямой;
б) один из направляющих векторов этой прямой.
8. Прямая
задана уравнением
.
Составить уравнение прямой, проходящей
через точку А(-4; 1)
а) параллельно данной прямой;
б) перпендикулярно данной прямой.
9. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(-1; 3); В(2; -1).
10. Найти
угол между прямыми
.
11. Найти
расстояние от точки М(-1; 5) до прямой
.
12. При каких значениях параметров а и уравнения
и
определяют параллельные
плоскости?
13. При
каком значении параметра а
уравнения
и
определяют перпендикулярные плоскости?
14. Найти
расстояние от точки
до плоскости
.
15. Составить
канонические уравнения прямой, проходящей
через точку
перпендикулярно плоскости
.
16. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно
а) прямой
;
б) оси
.
17. Найти
точку пересечения прямой
и
плоскости
.
18. Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей
.
Написать ее канонические и
параметрические уравнения.
19. Найти
проекцию точки
на плоскость, заданную
уравнением .
ОТВЕТЫ к контрольному заданию по темам: «Элементы векторной алгебры. Линии на плоскости. Поверхности и линии в пространстве».
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
;
6. Угол между
векторами равен
;
7.
;
8.
;
9.
;
10.
;
11. 4; 12.
;
13.
;
14.
;
15.
;
16.
;
17.
;
18.
;
;
19.
.
ТЕСТ по теме: «Элементы векторной алгебры. Линии на плоскости. Поверхности и линии в пространстве.»
К каждому из предложенных ниже заданий дано четыре варианта ответов. Один из предложенных ответов – правильный. Выбрать правильный ответ.
1. Найти длину вектора , если .
Варианты ответов:
а)
1; б)
2;
в) 4;
г)
.
2. Найти
координаты вектора
,
если
.
Варианты ответов:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
3. Найти
скалярное произведение векторов
.
Варианты ответов:
а)
;
б) 16;
в) 8;
г) 4.
4. При
каком значении параметра
векторы
перпендикулярны?
Варианты ответов:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
5. Составить
уравнение прямой, проходящей через
точку
перпендикулярно прямой
.
Варианты ответов:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
6. Найти
расстояние от точки
до прямой
.
Варианты ответов:
а)
1;
б) 2;
в) 5;
г)
.
7. Найти
проекцию точки
на прямую
.
Варианты ответов:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
8. Составить
уравнение плоскости, проходящей через
точку
перпендикулярно вектору
.
Варианты ответов:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
9. Какому
(из ниже перечисленных) векторов
параллельна прямая
?
Варианты ответов:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
10. Найти
расстояние от точки
до
плоскости
.
Варианты ответов: а) 2; б) 4; в) 1; г) 3.
11. При
каком значении параметра
прямая
перпендикулярна плоскости
?
Варианты
ответов: а)
10;
б) 2;
в)
;
г) нет
такого
.
Правильный ответ:
1.
;
2.
;
3. 8;
4.
;
5.
;
6.
;
7. ; 8. ; 9. ; 10. 4;
11. 2.
Учебно – методическое пособие