Форма математического описания сил и моментов сил, действующих на космические аппараты
Форма математического описания сил и моментов сил, действующих на космические аппараты (КА), зависит:
с одной стороны, от исходной информации об условиях полета КА, т.е. от информации об окружающей КА среде, в которой моделируется его движение;
с другой стороны, от требований точности моделирования управляемого движения одних и тех же сил и моментов.
В случае хорошо изученного поведения моделируемой силы или в случае низких требований к точности её моделирования применяются, так называемые детерминированные (определенные) математические модели этой силы (базовые науки: Математический анализ, Дискретная математика, Тория дифференциальных уравнений, Баллистика, Динамика полета).
Например, плотность атмосферы планеты, влияющая на величину аэродинамической силы, моделируется как экспоненциальная функция высоты полета КА.
Если же рассматриваемая сила изучена мало, но имеются некоторые статистические данные о её поведении, то данная сила моделируется, как случайная величина или случайная функция на основе математического аппарата теории вероятностей или теории случайных функций. В этом случае применяется, так называемая стохастическая модель силы (базовые науки: Математический анализ, Дискретная математика, Тория дифференциальных уравнений, Теория вероятностей, Динамика полета, Статистическая динамика).
Наконец, в том случае, если о моделируемой силе известны лишь пределы её изменения, причем разница между верхним и нижним значением этих границ такова, что они не могут быть математически смоделированы своим средним значением (с точки зрения точности моделирования) тогда такая сила моделируется, как ограниченно-неопределенная величина (базовые науки: Математический анализ, Дискретная математика, Тория дифференциальных уравнений, Динамика полета, Теория многошаговых или дифференциальных игр).
«Входные» воздействия и «выходные» функции динамической системы
Связь неавтономной динамической системы (математической модели движения КА) с другими системами осуществляется через так называемые «входы» и «выходы» системы.
«Входами» или входными воздействиями на динамическую систему являются либо управляющие силы (управления), либо неконтролируемые возмущающие силы (возмущающие воздействия - возмущения).
Если входные воздействия на динамическую систему отсутствуют, то она называется автономной или свободной системой.
В реальных условиях среди моделируемых физических систем и процессов не существует полностью автономных систем, т.е. таких физических систем и процессов, которые не взаимодействуют с другими системами. Однако при математическом моделировании некоторые из таких систем и процессов с определенной погрешностью можно считать автономными и использовать для их описания динамические системы (математические модели движения). В то же время существуют математические средства, позволяющие учесть входные воздействия на динамическую систему.
К числу управляющих воздействий или управлений относятся входные воздействия, которые непосредственно или через специальные устройства подвластны пилоту (оператору) или разработчику системы автоматического (беспилотного) управления.
При формировании математических моделей движения все прочие входные воздействия на систему рассматриваются как возмущающие воздействия (возмущения).
С учетом указанного разделения входных воздействий, обыкновенная динамическая система будет иметь следующий общий вид:
где u(t)- r-мерная векторная функция управления (вектор функций, состоящий из r функций), v(t) - p-мерная векторная функция возмущений (вектор функций, состоящий из p функций).
Здесь U— множество допустимых управлений, а V— множество возможных возмущений, - знак принадлежности элемента множества (например, u ) к соответствующему множеству (например, u ) .
Для реальных физических систем и процессов, в частности для управляемого движения КА, управляющие и возмущающие воздействия обычно имеют ограничения (сверху и снизу).
Например:
Возмущения: Спуск КА в плотных слоях атмосферы планеты подвержен целому ряду возмущающих воздействий. Наиболее ощутимые из них связаны с аэродинамическими силами и моментами.
Из-за отсутствия достаточной статистической информации о плотности атмосфер планет (кроме Земли) возможны неопределенные ее вариации, которые могут достигать весьма высоких относительных значений и поэтому вариации плотности атмосферы (существенно влияющие на аэродинамические силы) рассматриваются как существенный возмущающий фактор, приводящий к значительным изменениям траектории спуска КА в атмосфере планет.
В связи с этим функция вариаций плотности атмосферы планеты моделируется как одна из составляющих вектора возмущающих воздействий vj и ограничивается рамками области неопределенности:
где j — номер индекса ограниченно-неопределенной вариации плотности атмосферы, которые она имеет среди других возмущений, атмосферы планеты (например: ветер, температура давление и т.д.); Р — множество возможных реализаций плотности; ρmin , ρmax — соответственно минимальная (разреженная) и максимальная (плотная) реализации плотности атмосферы.
Аналогичным образом могут быть заданы другие ограниченно-неопределенные возмущающие воздействия, например, ветровые воздействия и проектно-баллистические характеристики КА, которые, чаще всего, с точки зрения требований к точности моделирования не могут быть представлены как детерминированные величины.
УПРАВЛЕНИЯ: Управление спуском КА в плотных слоях атмосферы, как правило, осуществляется путем изменения аэродинамических сил либо по величине, либо по направлению, а иногда — того и другого одновременно.
При наличии на борту КА реактивной двигательной установки (ДУ) управление его спуском может осуществляться путем включения и выключения ДУ, изменения величины и направления вектора суммарной силы тяги ДУ.
Во всех этих вариантах управления спуском КА в атмосфере планеты на абсолютные величины составляющих вектора управления накладываются ограничения, которые по существу формируют границы множества допустимых управлений U.
Поскольку основной независимой переменной, определяющей процесс спуска КА, является время t, то какой бы сложной не оказалась, вектор-функция управления спуском она, в конечном итоге, является функцией времени. Поэтому множество U должно принадлежать определенному классу функций времени, в рамках которого будет вестись поиск управлений, удовлетворяющих задаче управляемости. Обычно для рассматриваемого конкретного случая — управления спуском КА — ограничиваются классом кусочно-непрерывных функций или, в общем случае, классом интегрируемых функций:
где и(·) — реализация вектор-функция управления; L — класс интегрируемых функций; итах umin — максимальные и минимальные
значения составляющих вектор-функции управления, соответственно.