Билет 24

Циркуляция вектора магнитной индукции

Циркуляцией вектора В по заданно­му замкнутому контуру называется интеграл

где dl — вектор элементарной длины контура, направленной вдоль обхода контура, B_l=Bcosa — составляющая вектора В в направлении касательной к контуру (с учетом выбранного направления обхода), а — угол между векторами В и dl.

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора В): циркуляция вектора В по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим кон­туром: (1)

где п — число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы. Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Положительным считается ток, направление которого образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему; ток противоположного направления считается отрицательным. Выражение (1) справедливо только для поля в вакууме, поскольку, как будет показано ниже, для поля в веществе необходимо учитывать молекулярные токи. Теорема о циркуляции вектора В имеет в учении о магнитном поле такое значение, как теорема Гаусса в электростатике, так как позволяет находить магнитную индукцию поля без применения закона Био — Савара — Лапласа.

Билет 27

Работа перемещения проводника с током в магнитном поле

На проводник с током в магнитном поле действуют силы, определяемые законом Ампера. Если проводник не закреплен (например, одна из сторон контура изготовлена в виде подвижной перемычки, рис. 177), то под действием силы Ампера он будет в магнитном поле перемещаться. Следовательно, магнитное поле совершает работу по перемещению проводника с током.

Для определения этой работы рассмотрим проводник длиной l с током I (он может свободно перемещаться), помещенный в однородное внешнее магнитное поле, перпен­дикулярное плоскости контура. Сила, направление которой определяется по правилу левой руки, а значение — по закону Ампера (), равна

Под действием этой силы проводник переместится параллельно самому себе на от­резок dx из положения 1 в положение 2. Работа, совершаемая магнитным полем, равна

так как =- площадь, пересекаемая проводником при его перемещении в маг­нитном поле, BdS=dФ — поток вектора магнитной индукции, пронизывающий эту площадь. Таким образом, т. е. работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна произведе­нию силы тока на магнитный поток, пересеченный движущимся проводником. Получен­ная формула справедлива и для произвольного направления вектора В.

Рис. 177

Билет 26

Закон Ампера

Магнитное поле оказывает на рамку с током ориентирующее действие. Следовательно, вращающий момент, испытываемый рамкой, есть результат действия сил на отдельные ее элементы. Обобщая результаты исследования действия магнитного поля на различные проводники с током, Ампер установил, что сила dF, с которой магнитное поле действует на элемент проводника dl с током, находящегося в магнит­ном поле, равна (1)

где dl — вектор, по модулю равный и совпадающий по направлению с током, В — вектор магнитной индукции.

Направление вектора dF может быть найдено, согласно (1), по общим правилам векторного произведения, откуда следует правило левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор В, а четыре вытянутых пальца рас­положить по направлению тока в проводнике, то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на ток.

Модуль силы Ампера вычисляется по формуле (2) где а — угол между векторами dl и В.

Закон Ампера применяется для определения силы взаимодействия двух токов.

Закон Ампера устанавливает, что силаF, которая действует на прямолинейный проводник с током, находящийся в однородном магнитном поле В, прямо пропорциональна силе токаIв проводнике, его длинеl, магнитной индукции В и синусу угла α между направлением тока в проводнике и вектором В:F = IB l sin α

Сила Лоренца. Движение заряженной частицы в магнитном поле

Наблюдения над движением в магнитном поле электронов, положительных и отрицательных ионов показали, что на них действуют силы, направленные перпендикулярно к векторам скорости заряженных частицvи вектору индукции В. Было установлено, что дляположительнозаряженных частиц направление силы совпадает с направлением вектора, а дляотрицательнозаряженных частиц – с направлением вектора.Выражение для силыF, действующей на зарядq, движущийся в магнитном полеB, было получено Г. Лоренцом, эта сила называетсясилой Лоренца

Численное значение силы Лоренца равно F_л = q v B sin α

где α– угол между векторамиvиB. Сила Лоренца всегда направлена перпендикулярно к скорости движения заряда и поэтому играет роль центростремительной силы. Следовательно,сила Лоренца не совершает работы. Она изменяет только направление скорости движения заряда в магнитном поле. Абсолютная величина скорости заряда и его кинетическая энергия при движении в магнитном полене изменяются.

В общем случае на движущийся электрический заряд, помимо магнитного поля с индукцией В, может еще действовать иэлектрическое поле, напряженность которого Е. Тогда результирующая силаF, приложенная к заряду, равна векторной сумме силыF_е=qE, действующей на заряд со стороны электрического поля, и силы Лоренца

F = q E + q [ v, B]-формула Лоренца

Пусть в металлической пластинке вектор В перпендикулярен направлению тока. Под действием силы Лоренца свободные носители будут смещаться в поперечном направлении. В результате на одной поверхностипроводника будет накапливатьсяположительный заряд, а на другой –отрицательный.

Рассмотрим движение заряженных частиц в однородном магнитном поле, причем на частицы не действуют никакие электрические поля.

Движение заряженной частицы вдоль линий индукции магнитного поля, α = 0. При этом сила ЛоренцаF_л=qvBsinα= 0. Частица будет двигаться по инерции- равномерно и прямолинейно.

Движение заряженной частицы перпенд. к линиям магнитной индукции,α = π / 2. Тогда сила ЛоренцаF_л=qvBи направлена перпендикулярно векторамvиB. Следовательно, частица движется по окружности, сила Лоренца является центростремительной силойF_л=mv²/r,m– масса заряженной частицы,r– радиус окружности. Радиус кривизны можно определить из равенстваqvB=mv²/r.

Частица движется по окружности равномерно, поэтому период обращения частицы, т.е. время одного полного оборота Т:Движение заряженной частицы, когда ее скорость v направлена под произвольным углом α к вектору индукции В.

Разложим вектор скорости vна две составляющие :v₁ - параллельную вектору В иv₂ – перпендикулярную к нему. Частица одновременно участвует в двух движениях: она равномерно вращается со скоростьюv₂по окружности радиусаrи движется поступательно со скоростьюv₁в направлении, перпендикулярном к плоскости вращения. Поэтому траектория движения заряженной частицы представляет собой винтовую линию, ось которой совпадает с линией индукции магнитного поля.