II. Магнитное взаимодействие

F₁ = F₂ = (3)

- сила взаимодействия между двумя параллельными токами

Ток магнитное полесиловое воздействие

Рис. 3

Рис. 3 Взаимодействие постоянных токов

§ 2. Напряженность электростатического поля

Электростатика – раздел физики, который изучает существование и взаимодействие неподвижных зарядов

Электростатическое поле характеризуется двумя взаимосвязанными физическими величинами:

• напряженность (силовая характеристика электростатического поля – сила, действующая на единичный неподвижный пробный положительный электрический заряд)

• потенциал (энергетич. характеристика поля – работа по перемещению единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность. В теории принимают потенциал бесконечно удаленной точки равным нулю . На практике_земли = 0)

Опыт показывает, что сила F, действующая на неподвижный точечный пробный заряд q, всегда может быть представлена как

, (4)

где вектор называют напряженностью электрического поля в данной точке. Вектор , как видно из (4), можно определить как силу, действующую на единичный положительный неподвижный заряд. Здесь предполагается, что пробный заряд q_пр должен быть достаточно малым, чтобы его внесение не вызвало заметного искажения интересующего нас поля (вследствие возможного перераспределения создающих поле зарядов).

Силовая линия – математическая линия, направление касательной к которой в каждой точке, через которую она проходит совпадает с направлением вектора , а густота пропорциональна модулю вектора.

Силовые линии начинаются на “+” заряж. телах и заканчиваются на “-” заряж. телах.

Напряженность поля точечного заряда

Из опыта (закон Кулона) непосредственно следует, что напряженность поля неподвижного точечного заряда q на расстоянии r от него можно представить как

(5)

где k — постоянная вид, которой зависит от выбора системы отсчета, в системе СИ ; ε₀ — электрическая постоянная; —радиус-вектор, проведенный из центра поля, в котором расположен заряд q, до интересующей нас точки. Напряженность поля в системе СИ выражается в вольтах на метр (В/м). В зависимости от знака заряда q вектор направлен так же, как и (для положительного заряда), или противоположно ему (для отрицательного заряда).

Рис. 4

По существу, формула выражает не что иное, как закон Кулона, но в «полевой» форме. Вся совокупность экспериментальных фактов показывает, что этот закон справедлив для расстояний от 10^-14 м до нескольких километров, и пока нет никаких оснований ожидать, что этот закон не выполняется и при больших расстояниях.

Принцип суперпозиции

Напряженность поля системы точечных неподвижных зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавали бы каждый из зарядов в отдельности:

, (6)

где r_i — расстояние между зарядом q_i и интересующей нас точкой поля.

Это утверждение называют принципом суперпозиции (наложения) электрических полей. Поле точечного заряда является фундаментальным, потому что, используя формулу поля точечного заряда и принцип суперпозиции, можно расчитать поле любого (!) заряда.

Распределение зарядов. Для упрощения математических расчетов во многих случаях бывает удобно игнорировать тот факт, что заряды имеют дискретную структуру (электроны, ядра), и считать, что они «размазаны» определенным образом и пространстве. Другими словами, удобно заменить истинное распределение точечных дискретных зарядов фиктивным непрерывным распределением. Это позволяет значительно упрощать расчеты, не внося сколько-нибудь значительной ошибки.

При переходе к непрерывному распределению вводят понятие о плотности зарядов — объемной ρ, поверхностной σ и линейной λ. По определению,

(7)

где dq — заряд, заключенный соответственно в объеме dV, на поверхности dS и на длине dl.

C учетом этих распределений формула (6) может быть представлена в другой форме. Например, если заряд распределен по объему, то надо заменить q_i на dq = ρ dV и ∑ на ∫, тогда

, (8)

где интегрирование проводится по всему пространству, в котором ρ отлично от нуля (Рис.5).

V

dV

A

dq

q

Рис. 5

Таким образом, зная распределение зарядов, мы можем полностью решить задачу о нахождении напряженности электрического поля по формуле (6), если распределение дискретно, или по формуле (8), если распределение непрерывно. Этот метод нахождения электрического поля получил название метод непосредственного интегрирования. В общем случае расчет сопряжен со значительными трудностями (правда, не принципиального характера). Действительно, для нахождения вектора надо вычислить сначала его проекцииЕ_x , Е_y , Е_z , а это по существу, три интеграла типа (8).

метод непосредственного интегрирования

Пример 1 Заряд q > 0 равномерно распределен по тонкому кольцу радиусом R. Найти напряженность Е электрического поля на оси кольца как функцию расстояния z от его центра.

Решение. Легко сообразить, что в данном случае вектор Е должен быть направлен по оси кольца (рис. 2). Выделим на кольце элемент dl. Запишем выражение для составляющей от этого элемента в точке А:

где λ = q/2πR. Для всех элементов кольца r и R будут одними и теми же, поэтому интегрирование этого выражения сводится просто к замене dl на q.

dl

r

R

0 α x

Рис.2

В результате получаем:

Видно, что при x » а поле Е = q/4πε₀x² , т. е. на больших расстояниях эта система ведет себя как точечный заряд.

В Y

dl C

A

r dα

α О X

D

r₀

Рис. 6

Пример 2:Рассчитать напряженность поля прямой бесконечной нити, равномерно заряженной с линейной плотностьюλ, в точке А, удаленной от нити на расстояние r₀ .(рис. 6)

Решение.

Разделим нить на столь малые элементы, в пределах которых можно считать заряд точечным. Рассмотрим один такой элемент длиной dlс зарядомdq=λdl(рис. 6).

В точке О элементарная напряженность поля этого заряда

.

Из треугольника ADOнаходим:. Так както из треугольникаABCопределяем:

.

Подставляя значения r, dα, получаем:

Проекции вектора на оси ОXи ОY:

Отсюда после интегрирования получаем:

Окончательно получаем: