1. Основные свойства электромагнитных волн

1.1.Электромагнитная природа света. Свойства электромагнитных волн

Существование электромагнитных волн было предсказано теоретически Максвеллом как прямое следствие из уравнений электромагнитного поля. Скорость электромагнитных волн в вакууме оказалась равной величине . Ее числовое значение почти совпало со скоростью света в вакууме, равной, по измерениям Физо в 1849 г., 3,15 10⁸м/с. Другое важное совпадение в свойствах электромагнитных волн и света обусловлено поперечностью волн. Поперечность электромагнитных волн следует из уравнений Максвелла, а поперечность световых волн – из экспериментов по поляризации света (Юнг 1817г.). Эти два факта привели Максвелла к заключению, что свет представляет собой электромагнитные волны.

Волновое уравнение

Уравнения Максвелла для вакуума при отсутствии токов (j= 0) и зарядов (= 0) имеют следующий вид

,

где ₀и₀– соответственно электрическая и магнитная постоянные. Уравнение показывает, что магнитное поле порождается переменным электрическим полем. Уравнение представляет собой математическую формулировку закона электромагнитной индукции. Следующее уравнение выражает факт отсутствия статического электрического поля в вакууме. Уравнение постулирует отсутствие магнитных зарядов. Применяя к обеим частям уравнения операциюrot, получаем

,

где учтены соотношения и принято во внимание, что порядок дифференцирования по независимым переменным (пространственным координатам и времени) можно изменить. Применяя известное из векторного анализа соотношение для дифференциальных операторов, запишем

.

Здесь – оператор Лапласа, который в декартовых координатах записывается в виде

.

Поскольку в рассмотренном случае то из соотношения с учетом уравнения получаем уравнение для вектора:

,

где – скорость света в вакууме.

Аналогично, применяя операцию rotк обеим частям равенства , получим уравнение для вектора:

.

Уравнения , линейны по полю. Поэтому они эквивалентны совокупности скалярных уравнений такого же вида, в каждое из которых входит только одна декартова компонента напряженности электрического или магнитного полей

и(=x,y,z).

Уравнения , , называются волновыми уравнениями. Их решения имеют характер распространяющихся волн.

Плоская волна

Предположим, что произвольная компонента поля Ф (например, Е_αилиВ_α) зависит лишь от одной пространственной координаты, напримерz, и времени, т.е. Ф = Ф(z,t). Тогда уравнение упростится и примет вид

.

Уравнению удовлетворяет функция вида:

,

где Ф₁и Ф₂– произвольные (дифференцируемые) функции своих аргументов.

Формула выражает общее решение уравнения . Она описывает суперпозицию двух волн. Первая из них распространяется вдоль, а вторая – против оси z. Скорости обеих волн одинаковы и равныс. Действительно, возмущение Ф₁, находившееся в момент времениt₁ в точкеz₁, в моментt₂приходит в точкуz₂, определяемую соотношениемt₁ –z₁/c=t₂ –z₂/c. Отсюда приt₂ >t₁имеемz₂ >z₁, и скорость распространения волнового возмущения равна

υ= (z₂ – z₁)/(t₂ – t₁) =c.

Функции Ф₁= Ф₁(z,t) и Ф₂= Ф₂(z,t) описывают плоские волны, так как волновое возмущение имеет одно и то же значение во всех точках бесконечной плоскости, перпендикулярной направлению распространения. Конкретный вид функций Ф₁и Ф₂определяется начальными и граничными условиями задачи.