Задача №29, схема IX
Для стального вала постоянного поперечного сечения с двумя зубчатыми колесами (рис. 1), передающего мощность Р, кВт, при угловой скорости ω, рад/с: а) определить вертикальные и горизонтальные составляющие реакций подшипников; б) построить эпюру крутящих моментов; в) построить эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях; г) определить диаметр d вала, приняв [σ] = 70 МПа и полагая Fr1 = 0,4·Ft1, Fr2 = 0,4·Ft2. Расчет производить по гипотезе наибольших касательных напряжений. Числовые значения мощности Р и угловой скорости ω представлены в таблице 1.
Рис. 1
Таблица 1 – Исходные данные
|
Р, кВт |
ω, рад/c |
|
46 |
18 |
Решение:
Для нахождения реакций опор составим расчетную схему вала. Обозначим точки опор и действующие на вал реакции опор в вертикальной и горизонтальной плоскости (рис. 2).
Рис. 2
Определим вращающий момент М1, приложенный к левому концу вала:
М1 = Р / ω
М1 = 46·103 / 18 = 2,55 кН·м
Учитывая, что момент М1 в точке С равен:
М1 = Ft1·(D2/2),
определим касательную силу Ft1:
Ft1 = 2·М1 / D2
Ft1 = 2·2,55 / 0,12 = 42,5 кН
Радиальную силу определим из условия задачи:
Fr1 = 0,4·Ft1
Fr1 = 0,4·42,5 = 17 кН
Так как вал передает мощность Р при угловой скорости вращения ω на протяжении всего участка, то в любом сечении на этом участке крутящий момент будет иметь одинаковое значение. Исходя из этого получаем равенство моментов М1 = М2. Отсюда определим касательную силу Ft2:
М2 = М1 = Ft2·(D1/2)
Ft2 = 2·М1 / D1
Ft2 = 2·2,55 / 0,36 = 14,16 кН
Радиальную силу определим из условия задачи:
Fr2 = 0,4·Ft2
Fr2 = 0,4·14,16 = 5,6 кН
Определим реакции опор Ray и Rby, исходя из условия ΣМА(Fy) = 0; ΣМB(Fy) = 0:
ΣМА(Fy) => –0,3·Rby + 0,1·Fr1 + 0,42·Fr2 = 0 =>
ΣМB(Fy) => 0,3·Ray – 0,2·Fr1 + 0,12·Fr2 = 0 =>
Отсюда получаем:
Rby = (0,1·Fr1 + 0,42·Fr2) / 0,3
Rby = (0,1·17 + 0,42·5,6) / 0,3 = 13,5 кН
Ray = (0,2·Fr1 – 0,12·Fr2) / 0,3
Ray = (0,2·17 – 0,12·5,6) / 0,3 = 9,1 кН
Для проверки правильности найденных реакций составим уравнение, исходя из условия ΣFy = 0:
Ray + Rby – Fr1 – Fr2 = 0
9,1 + 13,5 – 17 – 5,6 = 0
0 = 0
Реакции определены правильно.
Определим реакции опор Raz и Rbz, исходя из условия ΣМА(Fz) = 0; ΣМB(Fz) = 0:
ΣМА(Fz) => –0,3·Rbz – 0,42·Ft2 + 0,1·Ft1 = 0 =>
ΣМB(Fz) => 0,3·Raz – 0,2·Ft1 – 0,12·Ft2 = 0 =>
Отсюда получаем:
Rbz = (–0,42·Ft2 + 0,1·Ft1) / 0,3
Rbz = (–0,42·14,16 + 0,1·42,5) / 0,3 = –5,66 кН
Raz = (0,2·Ft1 + 0,12·Ft2) / 0,3
Raz = (0,2·42,5 + 0,12·14,16) / 0,3 = 34 кН
Реакция Rbz получилась со знаком минус. Это значит, что её вектор силы направлен в противоположную сторону от выбранного нами направления.
Для проверки правильности найденных реакций составим уравнение, исходя из условия ΣFz = 0:
Raz + Rbz + Ft2 – Ft1 = 0
34 + (–5,66) + 14,16 – 42,5 = 0
0 = 0
Реакции определены правильно.
На участке от правого зубчатого колеса до левого вал скручивается моментом М2. Следовательно, в любом сечении на этом участке крутящий момент МК = |М2| = 2,55 кН·м и эпюра крутящих моментов отобразится следующим образом (рис. 3):
Рис. 3
Под действием сил Ray, Rby, Fr1, Fr2 вал изгибается на участке AD в вертикальной плоскости. Определим изгибающие моменты в характерных точках:
МА = 0;
МС = 0,1·Ray = 0,1·9,1 = 0,91 кН·м;
МВ = 0,3·Ray – 0,2·Fr1 = 0,3·9,1 – 0,2·17 = –0,67 кН·м;
МD = 0,42·Ray – 0,32·Fr1 + 0,12·Rby = 0,42·9,1 – 0,32·17 + 0,12·13,5 = 3,822 – 5,44 + 1,62 = 0
По полученным данным строим эпюру МZ.
Рис. 4
Под действием сил Raz, Rbz, Ft1, Ft2 вал изгибается на том же участке AD, но в горизонтальной плоскости. Определим изгибающие моменты в характерных точках:
МА = 0;
МС = 0,1·Raz = 0,1·34 = 3,4 кН·м;
МВ = 0,3·Raz – 0,2·Ft1 = 0,3·34 – 0,2·42,5 = 1,7 кН·м;
МD = 0,42·Raz – 0,32·Ft1 + 0,12·Rbz = 0,42·34 – 0,32·42,5 + 0,12·(–5,66) = 14,28 – 13,6 – 0,68 = 0;
По полученным данным строим эпюру МY.
Рис. 5
Применяя третью гипотезу прочности (наибольших касательных напряжений), определяем эквивалентный момент МЭКВ в опасном сечении вала по формуле:
МЭКВ =
МЭКВ =
=
4,35 кН·м
Из условия прочности, принимая [σ] = 70 МПа = 70 Н/мм2 (для самого жесткого случая), находим требуемый момент сопротивления вала:
WOC = МЭКВ / [σ]
WOC = 4,35·106 / 70 = 62142,85 мм3
Из формулы момента сопротивления для круглого сечения находим диаметр вала:
d =
d =
=
85,8 мм