Контрольная работа по курсу «Прикладная механика»
(вариант 41)
Задача №24, схема IV
Трехступенчатый стальной брус, длины ступеней которого в миллиметрах указаны на рисунке 1, нагружен силами F1 и F2. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине бруса. Определить удлинение (укорочение) бруса, приняв Е = 2 · 105 МН/м2. Числовые значения сил F1 и F2, а также площадей поперечных сечений ступеней А1, А2 и А3 приведены в таблице 1.
Рис. 1
Таблица 1 – Исходные данные
|
F1, кН |
F2, кН |
А1, см2 |
А2, см2 |
А3, см2 |
|
9,9 |
22,7 |
1,8 |
3,2 |
3,5 |
Решение:
Для построения эпюр продольных сил разбиваем рассматриваемый брус на участки, границами которых являются сечения, к которым приложены внешние нагрузки. Представим это на рисунке 2.
Рис. 2
Проведем расчет методом отсечения участков, начиная от свободного конца. Определим продольные силы:
N1 = – F1 = –9,9 кН
N2 = –F1 + F2 = –9,9 + 22,7 = 12,8 кН
Для построения эпюр нормальных напряжений, рассматриваемый брус разбивается на участки, на границе которых стыкуются участки разных диаметров. Представим это на рисунке 3.
Рис. 3
Нормальные напряжения определим по формулам:
σ1 = N1 / A1 = –9900 / 180 = –55 Н/мм2
σ2 = N1 / A2 = –9900 / 320 = –30,9 Н/мм2
σ3 = N1 / A3 = –9900 / 350 = –28,3 Н/мм2
σ4 = N2 / A3 = 12800 / 350 = 36,5 Н/мм2
Знак минус нормального напряжения означает, что брус на данном участке испытывает сжатие. По полученным данным построим соответственно эпюры продольных сил и нормальных напряжений. Для этого относительно базовой линии откладываем полученные значения, учитывая знак (рис. 4). Для удобства построения эпюры расположим брус горизонтально, тогда положительные значения будем откладывать выше, а отрицательные — ниже относительно базовой линии.
Рис. 4
Так как брус испытывает и сжатие, и растяжение, то происходит его укорочение и удлинение на характерных участках. Определение укорочения (удлинения) рассчитывается как алгебраическая сумма укорочений (удлинений) на каждом участке. Укорочение (удлинение) на отдельном участке определяется по формуле:
∆l = σ·l / E,
где l – длина участка бруса, м;
Е – модуль продольной упругости, Па.
Коэффициент пропорциональности Е для сталей по условию задачи имеет значение Е = 2·105 МН/м2 или Е = 2·1011 Н/м2 = 2·105 Н/мм2. Нормальные напряжения нам известны, длины участков также, определяем укорочение (удлинение) на каждом участке:
∆l4 = σ4·150 / E = 36,5·150 / 2·105 = 0,027 мм
∆l3 = σ3·100 / E = –28,3·100 / 2·105 = –0,014 мм
∆l2 = σ2·250 / E = –30,9·250 / 2·105 = –0,038 мм
∆l1 = σ1·250 / E = –55·250 / 2·105 = –0,069 мм
Знак минус означает, что первоначальная длина бруса на участке уменьшается, т.е. он сжимается, а знак плюс означает, что первоначальная длина бруса на участке увеличивается, т.е. он удлиняется. Определим полное укорочение (удлинение) бруса:
∆l = ∆l1 + ∆l2 + ∆l3 = –0,069 – 0,038 – 0,014 + 0,027 = –0,094 мм.
В результате получили, что заданный брус сжимается по длине на 0,094 мм.