Задача №70, схема IX
Определить требуемый размер поперечного сечения стальных стержней (рис. 1), удерживающих в равновесии горизонтальный жесткий брус, шарнирно закрепленный одним концом, если [σ] = 160 МПа. Определив требуемое значение площади А, найти напряжения в поперечных сечениях обоих стержней. Исходные данные представлены в таблице 1.
Рис. 1
Таблица 1 – Исходные данные
|
F, кН |
М, кН·м |
|
46 |
18 |
Решение:
Для определения поперечного сечения стальных стержней определим реакции этих стержней. Для этого условно покажем их направление (рис. 2).
Рис. 2
Здесь RB, RC — реакции стержней ВЕ и СF соответственно. У шарнирно-неподвижной опоры две реакции, но в нашем случае второй пренебрегаем, так как она направлена вдоль заданного бруса, а значит, равна нулю. Так как брус находится в равновесии, составим систему уравнений моментов сил относительно центров приведения В и С .
ΣМВ(Fi) = 0 => М + 2,0·F – 1,4·RС = 0
ΣМС(Fi) = 0 => М + 3,4·F – 1,4·RВ = 0
Отсюда выражаем усилия, возникающие в стержнях от действия внешней нагрузки.
=
78,5 кН
=
124,5 кН
Проведем проверку сил относительно оси Y:
ΣFy = 0 => F – RВ + RС = 0
46 – 124,5 + 78,5 = 0
0 = 0
Реакции стержней определены правильно.
Определяем требуемую площадь поперечного сечения стальных стержней по формуле:
A = R / [σ]
ABE = RB / [σ] = 124,5·103 / 160 = 778,125 мм2 = 7,78 см2
ACF = RC / [σ] = 78,5·103 / 160 = 490,625 мм2 = 4,9 см2
Зная требуемые значения площадей, определим расчетные напряжения в поперечных сечениях обоих стержней. Для этого по формуле Эйлера определим величину наибольшей допускаемой нагрузки:
Fнд = π2·Е·Jmin / l2,
где Jmin – минимальное значение момента инерции поперечного сечения стержня, мм4;
Е – модуль продольной упругости (для сталей имеет табличное значение Е = 2,1·105 МПа);
l – длина стержня, м.
Jmin1 = (ABE)2 / 12 = (778,125)2 / 12 = 50,4·10-9 м4
Jmin2 = (ACF)2 / 12 = (490,625)2 / 12 = 20·10-9 м4
FBE = π2·Е·Jmin1 / (lBE)2 = 3,142·2,1·105·106·50,4·10-9 / 1,52 = 46379 Н
FCF = π2·Е·Jmin2 / (lCF)2 = 3,142·2,1·105·106·20·10-9 / 0,82 = 64703 Н
Расчетные напряжения стержней:
σВЕ = FBE / ABE = 46379 / 778,125 = 59,6 МПа
σCF = FCF / ACF = 64703 / 490,625 = 131,8 МПа
Задача №14, схема XIV
Определить положение центра тяжести тонкой однородной пластинки, форма и размеры которой в миллиметрах показаны на рисунке 1. Исходные данные представлены в таблице 1.
Рис. 1
Таблица 1 – Исходные данные
|
a, мм |
b, мм |
|
540 |
430 |
Решение:
Для определения центра тяжести сечения геометрической фигуры разобьем сложную фигуру на более простые и определим в каждой из этих фигур центр тяжести, чтобы впоследствии можно было воспользоваться формулой для нахождения координат центра тяжести заданной фигуры:
xc = Σ(Ai·xi) / Σ(Ai)
yc = Σ(Ai·yi) / Σ(Ai)
где Аi – площадь сечения, входящего в состав фигуры, см2.
Разобьем фигуру так, как показано на рисунке 2 и проведем вспомогательные оси x0 и y0.
Рис. 2
Зная, что центр тяжести треугольника находится в точке пересечения его меридиан, а центр тяжести прямоугольника в точке пересечения его диагоналей, определяем центр тяжести всех составных фигур. Не сложно определить, что координаты центров С1, С2 и С3 будут равны:
xC1 = 130 мм = 13 см,
yC1 = b – 200 + 200/2 = 430 – 200 + 200/2 = 330 мм = 33 см;
xC2 = 130 + 40 = 170 мм = 17 см,
yC2 = 430 – 200 + 80 + (200 – 80)/2 = 90 мм = 9 см;
xC3 = 260 + 80 + (540 – 260 – 80)/2 = 440 мм = 44 см,
yC3 = yC1 = 330 мм = 33 см;
Для определения координат центра тяжести С4 воспользуемся формулой:
xC4 = (xА1 + xB1 + xD1) / 3,
yC4 = (yА1 + yB1 + yD1) / 3;
где xА1, yА1; xB1, yB1; xD1, yD1 – координаты вершин треугольника.
Определим координаты вершин треугольников из рисунка 3.
Рис. 3
Координаты вершин треугольника будут следующими:
xА1 = 260 мм = 26 см,
yА1 = 430 – 200 = 230 мм = 23 см;
xB1 = 540 мм = 54 см,
yB1 = yА1 = 230 мм = 23 см;
xD1 = xB1 = 540 мм = 54 см,
yD1 = 0;
Теперь определяем координаты центра тяжести С4:
xC4 = (26 + 54 + 54) / 3 = 44,6 см,
yC4 = (23 + 23 + 0) / 3 = 15,3 см
Определим площади сечений составных фигур. Площади прямоугольников будут равны:
А1 = 26 · 20 = 520 см2,
А2 = 12 · 8 = 96 см2,
А3 = 20 · 20 = 400 см2,
Площадь прямоугольного треугольника определим по формуле:
А4 = ½ · а · h = ½ · 23 · 28 = 322 см2
Теперь зная координаты центров тяжести всех сечений и их площади, определим координаты центра тяжести сечения составной фигуры:
xc = (A1·xС1 + A2·xС2 + A3·xС3 + A4·xС4) / (A1 + A2 + A3 + A4)
xc = (520·13 + 96·17 + 400·44 + 322·44,6) / (520 + 96 + 400 + 322) = 30,16 см
yc = (A1·yС1 + A2·yС2 + A3·yС3 + A4·yС4) / (A1 + A2 + A3 + A4)
yc = (520·33 + 96·9 + 400·33 + 322·15,3) / (520 + 96 + 400 + 322) = 27 см
Таким образом центр тяжести фигуры находится в точке С (xc; yc) = (301,6; 270) относительно вспомогательных координатных осей x0 и y0.