Задача №71, схема I

Для двухопорной балки, нагруженной как показано на рисунке 1, определить реакции опор, построить эпюры поперечных сил, изгибающих моментов и подобрать необходимый размер поперечного сечения (двутавр), приняв [σ] = 160 Н/мм². Необходимые исходные данные приведены в таблице 1.

Рис. 1

Таблица 1 – Исходные данные

F, кН	q, кН/м	М, кН·м
50	20	30

Решение:

Для построения эпюр внутренних силовых факторов необходимо определить реакции связей. В данной задаче будем рассматривать плоскую систему произвольно-расположенных сил. Так как по условию задачи имеем одну шарнирно-подвижную опору и одну шарнирно-неподвижную, то на первую будет действовать одна реакция, а на вторую две реакции опоры. Условно покажем реакции опор, действующих на балку, на координатной плоскости и определим их значения исходя из условия, что поперечная сила равна алгебраической сумме внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения:

Q_y = ΣF_i

Изгибающий момент численно равен алгебраической сумме моментов сил по одну сторону от рассматриваемого сечения:

Ми = Σ М₀(F_i)

Как мы отметили, в шарнирно неподвижной опоре возникают две реакции, но второй пренебрегаем, так как в наших расчетах она равна нулю, потому что направление вектора совпадает с осью балки и пересекается с центрами опор: ΣF_x = 0 => R_Ax = 0 (рис. 2).

Рис. 2

Для определения реакций опор балки R_А, R_D составим систему уравнений моментов сил относительно опор А и D, учитывая, что на балку действует распределенная нагрузка q. Если расчетные силы получатся со знаком минус, то это означает, что действительное направление вектора силы будет в обратную сторону.

ΣМ_А(F_i) = 0 => 3·q·3/2 + 4·F – 5·R_D + М = 0

ΣМ_D(F_i) = 0 => –1·F – 3·q·3,5 + 5·R_A + М = 0

Отсюда определяем реакции опор:

R_D = (3·q·3/2 + 4·F + М) / 5 = (3·20·3/2 + 4·50 + 30) / 5 = 64 кН

R_A = (1·F + 3·q·3,5 – М) / 5 = (1·50 + 3·20·3,5 – 30) / 5 = 46 кН

Проведем проверку по алгебраической сумме проекций всех внешних сил на ось перпендикулярную балке:

R_A – 3·q – F + R_D = 0

46 – 3·20 – 50 + 64 = 0

0 = 0

Реакции опор определены правильно.

Для построения эпюры поперечных сил в соответствии с местом приложения нагрузок разделим балку на три участка: I, II, III (рис. 3).

Балка имеет участок с равномерно распределенной нагрузкой, следовательно, значение поперечной силы будет изменяться по линейному закону и ее эпюра изобразится наклонным отрезком прямой, а на эпюре изгибающих моментов изобразится дугой параболы. На участке балки свободном от распределенной нагрузки поперечная сила постоянна и эпюра Q_y изобразится прямой, параллельной базовой линии.

Рис. 3

Определим значения поперечных сил Q_y на каждом участке, применяя метод сечения.

Q_yIII = –R_D = –64 кН;

Q_yII = –R_D + F = –64 + 50 = –14 кН;

Q_yI = –R_D + F + x·q, где 0 ≤ x ≤ 3

при x = 0: Q_yI = –64 + 50 + 0·20 = –14 кН;

при x = 3: Q_yI = –64 + 50 + 3·20 = 46 кН;

По полученным данным строим эпюру Q_y (рис. 4).

Рис. 4

Для построения эпюры изгибающих моментов М_и, применяя метод сечений, вычислим значения изгибающих моментов в характерных точках. При этом можно рассматривать равновесие как левой, так и правой отсеченной части — результаты будут одинаковы.

М_А^слева = 0; М_А^справа = М = 30 кН·м;

М_В = 3·R_A – 3·q·3/2 + M = 3·46 – 3·20·3/2 + 30 = 78 кН·м;

М_С = 4·R_A – 3·q·2,5 + M = 4·46 – 3·20·2,5 + 30 = 64 кН·м;

М_D = 5·R_A – 3·q·3,5 + M – 1·F = 5·46 – 3·20·3,5 + 30 – 1·50 = 0

Как видим на участке с равномерно распределенной нагрузкой эпюра поперечной силы наклонной прямой пересекает нулевую ось. Положение сечения, где Q_y = 0, необходимо определить, так как исходя из дифференциальной зависимости изгибающего момента от поперечной силы dM_и/dx = Q в сечении, где поперечная сила изменяет знак, переходя от Q_y > 0 к Q_y < 0, изгибающий момент достигает максимального значения.

Для определения точки наибольшего изгибающего момента необходимо решить уравнение Q_yI = –R_D + F + x·q = 0, так как именно на участке I эпюра поперечной силы пересекает базовую линию:

x = (R_D – F) / q

x = (64 – 50) / 20 = 0,7 м

Так как при вычислении поперечных сил методом сечения мы отсекали балку справа налево, то найденное значение x — это расстояние от точки B, на которое отстоит сечение Е, в котором Q_y = 0 (рис. 5).

Рис. 5

Исходя из этого, определим изгибающий момент в экстремальном сечении, рассматривая левую отсеченную часть балки и правую для подтверждения правильности построения эпюры М_и:

М_Е^слева = 2,3·R_A – 2,3·q·2,3/2 + M = 2,3·46 – 2,3·20·2,3/2 + 30 = 82,9 кН·м;

М_Е^справа = 2,7·R_D + 0,7·q·0,7/2 + 1,7·F = 2,7·64 – 0,7·20·0,7/2 – 1,7·50 = 82,9 кН·м;

Совпадение значений М_Е­ подтверждает правильность расчета.

Изгибающий момент есть квадратичная функция от x, поэтому на участке, нагруженном равномерно распределенной нагрузкой, эпюра изгибающего момента изображается параболой, выпуклость которой обращена в сторону, противоположную направлению действия нагрузки; при этом на участке, где Q > 0 (AЕ), изгибающий момент возрастает, если Q < 0 (ЕВ), изгибающий момент убывает (рис. 6).

Рис. 6

Из условия прочности на изгиб через наибольший изгибающий момент в сечении балки определим необходимые размеры поперечного сечения двутавра для заданной балки.

Из эпюры Ми следует, что в опасном сечении Ми = 82,9 кН·м = 82,9·10³ Н·м. Приняв по условию задачи [σ] = 160 Н/мм², по формуле находим необходимое значение момента сопротивления сечения при изгибе:

Wи ≥ Ми_max / [σ],

Wи ≥ 82,9·10³ / 160·10⁶ = 0,000518 м³ = 518 см³.

В соответствии с ГОСТ 8239-89 требуемому значению момента сопротивления соответствуют двутавр №33 с Wи = 597 см³, показанному на рисунке 7 [2, приложение 1]. Площадь поперечного сечения этого двутавра 53,8 см², высота h = 330 мм, ширина полки b = 140 мм, толщина стенки s = 7,0 мм, средняя толщина полки t = 11,2 мм. Масса 1 м двутавра составляет 42,2 кг.

Рис. 7