План решения задачи:
1.Соединить одноименные проекции точек и перейти к способу задания плоскости – плоской фигурой (треугольником);
2. Построить проекции горизонтали плоскости – h, удаленной от П1 на расстояние двух единиц ;
3. Построить фронтальный след горизонтали – N и его проекции – N1 и N2. Через него пройдет искомый фронтальный след плоскости;
4. Построить проекции фронтали плоскости – f, удаленной от П2 на расстояние трех единиц от П2;
5. Построить следы плоскости Г.
Пример оформления и решения задачи представлен на рис.5.
Горизонталь h - это прямая, лежащая в плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций П1. Все точки горизонтали отстоят на одинаковое расстояние от П1, т.е. координата Z всех точек горизонтали - величина постоянная и по условию задачи равная двум единицам. Следовательно, h2 параллельна оси Х и отстоит от неё на расстоянии двух единиц. Горизонталь лежит в плоскости треугольника АВС и пересекает его стороны. Соединив горизонтальные проекции точек пересечения, построим горизонтальную проекцию горизонтали.
Построение горизонтального следа горизонтали (прямой) описано в пояснении к решению задачи №2.
Фронталь f – это прямая, лежащая в плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций П2. Все точки фронтали отстоят на одинаковое расстояние от П2, т.е. координата Y всех точек фронтали – величина постоянная и по условию задачи равная трём единицам. Следовательно, f1 параллельна оси Х и отстоит от неё на расстоянии трех единиц. Фронталь лежит в плоскости треугольника АВС и пересекает его стороны. Соединив фронтальные проекции точек пересечения, построим фронтальную проекцию фронтали.
По свойству проекций горизонтали и фронтали фронтальный след искомой плоскости Г – Г2 проведём через фронтальный след горизонтали - N параллельно f2, в пересечении Г2 с осью Х12 найдём Гх, а горизонтальный след плоскости Г – Г1 проведём через Гх параллельно h1.
Задача №5: Построить проекции линии пересечения двух плоскостей.
Линией пересечения двух плоскостей является прямая. Проекции этой прямой проводятся через одноименные проекции двух точек, принадлежащих одновременно обеим плоскостям.
План решения задачи:
а) плоскости общего положения заданы следами, которые пересекаются в пределах эпюра.
Первую общую точку для двух заданных плоскостей найдем на плоскости П1 в пересечении горизонтальных следов;
2. Вторую общую точку – найдем на плоскости П2 в пересечении фронтальных следов;
3. Соединив одноименные проекции полученных точек, получим проекции линии пересечения.
Рис.5. Пример оформления и решения задачи №4
б) плоскости общего положения заданы следами и следы не пересекаются в пределах чертежа.
1. Вводим одну (если хотя бы два следа пересекаются) или две вспомогательные плоскости уровня.
2. Находим линии пересечения заданных плоскостей со вспомогательной плоскостью, след которой обладает собирательным свойством.
3. Общую точку для двух плоскостей находим в пересечении линий пересечения на вспомогательной плоскости;
4. Соединив одноименные проекции полученных точек, строим проекции линии пересечения.
в) плоскости общего положения заданы другими способами (параллельными прямыми, пересекающимися прямыми, плоской фигурой и т.д.)
1 способ (основан на нахождении точки пересечения прямой с плоскостью):
1. Одну из плоскостей выбираем в качестве основной плоскости, а во второй плоскости возьмем две прямые, ей принадлежащие.
2. Находим точки пересечения первой и второй прямой с основной плоскостью, заключая их во вспомогательные проецирующие плоскости.
3. Строим линию пересечения плоскостей, соединяя полученные точки пересечения.
4. Определяем видимость заданных плоскостей на плоскостях проекций методом конкурирующих точек.
2 способ (способ секущих плоскостей) – удобен для построения линии пересечения разнесенных плоскостей.
Этот способ заключается в том, что две точки, общие для двух пересекающихся плоскостей и определяющие положение линии пересечения, находятся во вспомогательных плоскостях частного положения):
1. Вводим первую вспомогательную плоскость (как правило, плоскость уровня).
2. Находим линии пересечения этой плоскости с заданными плоскостями (прямые уровня).
3. Точка пересечения этих линий принадлежит обеим заданным плоскостям и, следовательно, лежит на линии пересечения.
4. Вводим вторую вспомогательную плоскость параллельную первой вспомогательной плоскости.
5. Находим линии пересечения второй вспомогательной плоскости с заданными плоскостями (прямые уровня).
6. Точка пересечения этих линий тоже принадлежит обеим заданным плоскостям и, также, лежит на линии пересечения.
7. Соединив две точки, лежащие одновременно на двух пересекающихся плоскостях, построим линию пересечения плоскостей.
8. Определяем видимость заданных плоскостей и линии пересечения методом конкурирующих точек.
Пример оформления и решения задачи представлен на рис.6.
Метод конкурирующих точек для определения видимости объектов.
Для определения видимости на плоскости П1 необходимо взять конкурирующие точки, принадлежащие разным объектам, у которых совпадают горизонтальные проекции. Найдем фронтальные проекции этих точек. Горизонтальная проекция той из них будет видима, у которой фронтальная проекция выше, т.е. находится ближе к наблюдателю.
Для определения видимости на плоскости П2 необходимо взять конкурирующие точки, принадлежащие разным объектам, у которых совпадают фронтальные проекции. Найдем горизонтальные проекции этих точек. Фронтальная проекция той из них будет видима, у которой горизонтальная проекция ближе к наблюдателю (имеет большую глубину).
Невидимые проекции объекта показывают штриховыми линиями (линиями невидимого контура).
Обратите внимание! В случае, если одна из заданных пересекающихся плоскостей является плоскостью частного положения (плоскостью уровня или проецирующей плоскостью), одна из проекций линии пересечения плоскостей определяется сразу же, без дополнительных построений, так как она лежит на том следе плоскости, который обладает собирательным свойством.
Задача №6: Определить точку пересечения прямой, заданной отрезком АВ, с заданной плоскостью. Определить видимость проекций прямой.
План решения задачи:
1. Заключить прямую, заданную отрезком АВ, во вспомогательную плоскость Δ (см. задачу №3).
Обратите внимание!
Если заданная прямая – прямая частного положения, то Δ – плоскость уровня, если заданная прямая - общего положения, то Δ – плоскость проецирующая.
2. Найти линию пересечения плоскостей: заданной и вспомогательной (см. задачу № 5);
Рис.6. Пример оформления и решения задачи №5 (а – плоскости общего положения заданы следами, которые пересекаются в пределах эпюра)
3. В пересечении заданной прямой и линии пересечения плоскостей найдем точку пересечения заданной прямой с заданной плоскостью.
4. Методом конкурирующих точек (см. задачу №5) определяем видимость проекций заданной прямой.
Пример оформления и решения задачи представлен на рис.7.
Задача №7: Определить расстояние от точки К до заданной плоскости.