4. Даны векторы . Вычислите
а) вектор
,
б) его длину и
в) величину угла между векторами d и b.
г) Представьте вектор
в виде линейной комбинации векторов
.
Решение.
a) По определению арифметических действий со столбцами
,
б) Поскольку длина вектора
есть квадратный корень из суммы квадратов
компонент этого вектора, то
,
Методические указания стр.7
*************************************************************************************
в) Для того, чтобы вычислить
косинус угла между
векторами
и
,
следует сначала вычислить скалярное
произведение
этих векторов по формуле
,
затем вычислить длины этих веторов
,
и, наконец, найти косинус угла
по формуле
.
Следовательно,
(угол
тупой)
г) Из равенства
следует, что
.
Следовательно,
.
5. А) Для пары матриц вычислите
A+B, A*, B*, AB, BA, det A, det A*, det B, det B*, det (A+B), det AB, det BA.
б) Проделайте те же вычисления для пары матриц
.
в) Выясните, какие из следующих тождеств верны, а какие нет (одно из верных тождеств докажите): det A = det A*; det (A+B) = det A + det B; det AB = det A det B; det AB = det BA
(здесь A и B – квадратные матрицы одинаковых размеров).
Решение.
a) Для пары матриц
имеем
,
,
,
По формуле вычисления определителя второго порядка
Методические указания стр.8
*************************************************************************************
находим
,
.
ТЕОРЕМА..
Для любой
квадратной матрицы справедливо равенство
представляют собой следствия следующей
теоремы (см.п.в))
Мы убедимся в справедливости этой теоремы на примере квадратных матриц второго и третьего порядков.
Для матрицы второго порядка имеем
.
Определитель матрицы третьего порядка вычисляется по правилу
.
Используя это правило, вычислим определитель транспонированной матрицы:
.
Сравнивая полученные выражения, приходим к выводу, что оба определителя
равны. Для квадратных матриц второго и третьего порядков теорема доказана.
Далее, для пары матриц вычисляем
Методические указания стр.9
*************************************************************************************
,
.
Проведенные вычисления показывают, что
для этой пары матриц
.
И это не является совпадением. Имеет
место следующая
ТЕОРЕМА..
Для любых двух
квадратных матриц одинаковых размеров
справедливы равенства
Здесь мы проведем доказательство этой теоремы только для матриц второго порядка.
В общем случае теорема будет доказана на лекции.
Именно, если
,
то
,
;
;
.
Подчеркнутые одной чертой выражения
совпадают. Поэтому
.
Теорема для квадратных матриц второго
порядка доказана.
б) Для пары матриц
.
аналогичные вычисления дают
,
,
Методические указания стр.10
*************************************************************************************
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Домашняя работа №1 ( Вариант №8, 1 неделя ).
1. а) Для пары матриц
и
вычислите те из матриц
AB, BA, A*B, BA*, AB*, B*A, A*B*, B*A*, A+B, B+A, A*+B, B+A*, A+B*, B*+A, A*+B*, B*+A*, которые определены ( * символ транспонирования матриц).
б) Проделайте те же операции для пары
матриц
и
и
в) для пары матриц .
г) Выясните, какие из следующих матричных тождеств верны, а какие – нет (одно из верных тож-деств докажите): A+C=C+A; AC=CA; (AC)*=A*C*; (AC)*=C*A*; (A+C)*=C*+A*.
2. Найдите матрицу Х из уравнения 5A 3X – 4B = , где
,
,
нулевая матрица размеров 3x4.
3. Решите матричные уравнения (x и y – неизвестные действительные числа) и дайте геометричес-кую интерпретацию системы получившихся обычных уравнений:
а) ;
б) .
4. Даны векторы . Вычислите
а) вектор ,
б) его длину и
в) величину угла между векторами d и b.
г) Представьте вектор в виде линейной комбинации векторов .
5. а) Для пары матриц вычислите
A+B, A*, B*, AB, BA, det A*, det B, det B*, det (A+B), det AB, det BA.
б) Проделайте те же вычисления для пары матриц
.
в) Выясните, какие из следующих тождеств верны, а какие нет (одно из верных тождеств докажите): det A = det A*; det (A+B) = det A + det B; det AB = det A det B; det AB = det BA
(здесь A и B – квадратные матрицы одинаковых размеров).