§ 6.2 Собственные векторы и собственные значения линейных операторов

Определение 1. Если векторное пространство определено над числовым полем К, то число из поля К называется собственным значением (собственным числом) линейного оператора , если существует ненулевой вектор такой, что .

При этом вектор называется собственным вектором линейного оператора , отвечающим собственному числу .

Собственный вектор под воздействием линейного оператора переходит в коллинеарный вектор (умножается на число). Действие оператора - умножение собственных векторов на их собственные числа. Иными словами, если некоторый вектор представляет собой линейную комбинацию собственных векторов, то действие оператора на такой вектор - умножение каждого слагаемого комбинации на собственное число.

Очевидно, что если собственный вектор оператора А, принадлежащий данному собственному числу, умножается на некоторое число, то полученный коллинеарный вектор также будет собственным вектором с тем же собственным числом:

, то .

Определение 2. Уравнение называется характеристическим уравнением оператора , действующего в векторном пространстве над числовым полем К и имеющего в базисе матрицу . При этом многочлен от переменной называется характеристическим многочленом оператора в базисе .

Используя приведенные ранее выкладки, легко доказать введенную ранее теорему:

Теорема 1. Для того чтобы число было собственным значением оператора (или собственным числом матрицы А) необходимо и достаточно, чтобы это число было корнем характеристического уравнения оператора .

Замечание. Характеристический многочлен оператора не зависит от выбора базиса в линейном пространстве, т.е. при переходе от базиса к базису собственные числа не меняются и, следовательно, не меняются и собственные вектора.

Теорема 2. Если собственные числа оператора различны, то отвечающие им собственные векторы линейно независимы и если их число совпадает с размерностью пространства, то они образуют базис.

Определение 3. Базис в линейном пространстве , в котором действует линейный оператор , составленный из собственных векторов оператора (если такой базис существует), называется собственным базисом оператора .

В этом базисе матрица оператора А диагональной, а элементами этой диагонали являются собственные числа, отвечающие векторам собственного базиса.

Теорема 3. Для того чтобы матрица линейного оператора в данном базисе была диагональной, необходимо и достаточно, чтобы этот базис был собственным базисом оператора (составленный из собственных векторов оператора).

( Следует из соотношения: Аf_i = f_i , где f_i – вектора собственного базиса ).

§ 6.3 Сопряженные и симметричные операторы

Определение 1. Оператор называется сопряженным к линейному оператору , действующему в евклидовом пространстве , если для любых выполняется

.

Матрица сопряженного оператора А^Ж в ортонормированном базисе является транспонированной к А и сохраняет все свойства транспонированных матриц.

Определение 2. Линейный оператор , действующий в евклидовом пространстве, называется симметричным ( самосопряженным ), если .

В любом ортонормированном базисе матрица симметричного оператора является симметричной: и сохраняет все свойства симметричных матриц. Кроме того:

. Все n корней характеристического уравнения симметричного оператора

являются действительными числами.

. Симметричный оператор всегда имеет собственные векторы.

. Собственные векторы симметричного оператора, отвечающие различным

собственным числам, ортогональны.

. Для симметричного оператора существует ортонормированный собственный базис.

Определение 3. Линейный оператор , действующий в евклидовом пространстве, называется ортонормированным (иногда говорят ортогональным), если для любых из этого пространства выполняется равенство

(1).

Преобразование, осуществленное по данному оператору, называют линейным ортогональным преобразованием.

Замечание. Условие (1) означает, что ортонормированный оператор сохраняет скалярное произведение и те величины, которые выражаются через скалярное произведение – длину векторов и угол между векторами. Ортонормированный оператор в Rⁿ производит поворот пространства вокруг начала координат, оставляя начало координат неподвижным.

Теорема. В любом ортогональном базисе матрица А = {a_ij} ортогонального оператора является ортогональной тогда и только тогда, когда ее элементы удовлетворяют условию: (i  j )

Определение 4. Если определитель квадратной матрицы оператора не равен нулю, то преобразование по данному оператору называют линейным аффинным преобразованием.

Основные свойства линейных (ортогонального и аффинных) преобразований :

1. Ортогональное преобразование – частный случай аффинного

2. Ортогональное преобразование сохраняют расстояние, углы и площади

3. Аффинные и ортогональное преобразования обратимы, тождественны и транзитивны

4. Аффинные преобразования не сохраняют расстояние, но сохраняют фигуры.

Примеры.

1. Рассмотрим три вектора в R²: а = (3,3), b =(3, -3), c =(6, 0) и ортогональный оператор (ортогональную матрицу) .

Результатом применения оператора А будут вектора:

Аа = , Аb = , Аc = или в геометрическом представлении

произойдет поворот треугольника вокруг центра с сохранением длин, углов и площадей.

2. Применив к тем же трем векторам аффинное преобразование , получим

вектора Аа = , Аb = , Аc = , т.е. аффинное преобразование переводит

треугольник в треугольник.