6. Определение проводимостей

Входная проводимость k-ветви –это коэффициент пропорциональности между током и ЭДС этой ветви (при отсутствии ЭДС в других ветвях схемы). Взаимная проводимость k- и m-ветвей – это коэффициент пропорциональности между током k-ветви и ЭДС m-ветви при отсутствии ЭДС в других ветвях схемы.

; .

ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ОСНОВНЫХ МЕТОДОВ РАСЧЁТА

ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Основные методы расчёта (с помощью законов Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов и метод эквивалентного генератора напряжения) рассмотрим на примере схемы (рис.2).

Приступая к расчёту, целесообразно упростить схему, преобразовав источники тока в источники ЭДС: E_э2 =R₂I_к2, E_э3 =R₃I_к3 (рис. 3), а затем в обеих ветвях заменим два источника на один: =Е₂+E_э2, = E₃+ E_э3 (рис.4).

1. Законы Кирхгофа

Произвольно направим токи всех ветвей и обозначим их стрелками на схеме (рис.4) (для упрощения расчёта рекомендуется в ветвях, содержащих источники ЭДС, выбирать направления токов совпадающими с направлением ЭДС). Выберем направление обхода контура по часовой стрелке. Схема состоит из шести ветвей и четырёх узлов, следовательно, необходимо составить систему из шести уравнений с шестью неизвестными (токами), из которых 4-1=3 уравнения по 1-му закону Кирхгофа, остальные 6-3=3 – по 2-му закону. При составлении уравнений по 1-му закону Кирхгофа ток, подтекающий к узлу, записываем со знаком плюс, вытекающий – со знаком минус. При составлении уравнений по 2-му закону Кирхгофа ток и ЭДС записываем со знаком плюс, если их направление совпадает с направлением обхода контура, в противном случае они входят в уравнение со знаком минус. Система уравнений будет выглядеть следующим образом:

2. Метод контурных токов

Схема состоит из трёх независимых контуров. Зададим направления контурных токов и обозначим их на схеме (рис.5). Выберем направления обхода контуров по часовой стрелке. Для нашей схемы система уравнений в общем виде:

Находим полные сопротивления контуров: первого R₁₁=R₂+R₅+R₄, второго R₂₂=R₄+R₃+R₁, третьего R₃₃=R₃+R₅+R₆. Взаимное сопротивление смежных контуров равно сопротивлению ветви, находящейся между ними, взятому со знаком минус: R₁₂=R₂₁= -R₄, R₂₃=R₃₂= -R₃, R₁₃=R₃₁= -R₅ (знак минус у этого сопротивления появился, так как в данном случае контурные токи в нём имеют встречное направление). Контурные ЭДС: E₁₁= , E₂₂= - , E₃₃= . Подставляем:

Подставив численные данные и решив полученную систему, находим контурные токи I₁₁, I₂₂, I₃₃. По известным контурным токам несложно определить токи ветвей. В данном примере: I₁= -I₂₂, I₂= I₁₁, I₃= I₃₃–I₂₂, I₄=I₂₂-I₁₁, I₅=I₁₁-I₃₃, I₆=I₃₃.

3. Метод узловых потенциалов

В данной схеме (рис.4) заземлим, к примеру, узел 4, то есть φ₄=0. Для оставшихся трёх узлов составляем систему уравнений в общем виде:

Рассчитаем коэффициенты при потенциалах. Сумма проводимостей ветвей, сходящихся в первом узле, для данной схемы g₁₁= ; сумма проводимостей ветвей, сходящихся во втором узле, g₂₂= ; сумма проводимостей ветвей, сходящихся в третьем узле, g₃₃= . В данном случае узлы 1 и 2 соединяет только одна ветвь, её проводимость g₁₂=g₂₁= , аналогично g₂₃=g₃₂= , и g₁₃=g₃₁= .

Затем рассчитываем узловые токи. В данной схеме к первому узлу подходит только одна ветвь, содержащая источник ЭДС, её проводимость 1/R₂, поэтому (ЭДС, направленная к узлу, входит в сумму со знаком плюс, от узла – со знаком минус), аналогично для второго узла , и для третьего узла .

Подставляем найденные коэффициенты и узловые токи в нашу систему уравнений, подставляем численные данные, решаем и получаем потенциалы φ₁, φ₂, φ₃.

Зная потенциалы всех узлов, нетрудно рассчитать все токи в схеме, используя закон Ома. В данном случае I₁= , I₂= , I₃= , I₄= , I₅= , I₆= .

4. Метод эквивалентного генератора

Рассчитаем, к примеру, ток I₂ в ветви с сопротивлением R₂ (см.рис.4). Эту ветвь размыкаем (рис.6), а оставшуюся часть цепи считаем эквивалентным генератором напряжения с ЭДС Е_г и внутренним сопротивлением R_г.

ЭДС эквивалентного генератора равняется напряжению на зажимах разомкнутой ветви (напряжению холостого хода):

E_г=U_12хх=(φ₁-φ₂)_хх=(φ₁-φ₂+φ₃-φ₃)_хх=(φ₁-φ₃)_хх-(φ₂-φ₃)_хх=U_13хх – U_23хх=I_IR₄ – I_IIR₅

В данном случае токи I_I= , I_II= (для каждой конкретной схемы токи могут быть определены любым известным методом), подставляем:

E_г= - .

Для подсчёта R_г в схеме (рис.6) источники напряжения заменим короткозамкнутыми участками (рис.7). Преобразуем треугольник сопротивлений 134 (рис.7) в звезду (рис.8), при этом сопротивления звезды рассчитываем следующим образом:

; ; .

Теперь можем рассчитать входное сопротивление

R_г=R_вх= .

Рис.8

Рис.9

а

б

в

Рис.10 Рис.11

Искомый ток I₂ определяется по закону Ома

.

Заметим, что в данном пункте рассмотрен метод эквивалентного генератора напряжения. Существует также метод эквивалентного генератора тока (см., например, [4]).

5. Напряжение на вольтметре

Расчёт напряжения на вольтметре рассмотрим на примере участка схемы, изображённого на рис.9. Выразив потенциал точки a через потенциал точки b:

φ_a= φ_b+E₂-I₂R₂+I₁R₁-E₁,

определим напряжение между точками a и b:

U_ab= φ_a-φ_b=E₂-I₂R₂+I₁R₁-E₁.

Напряжение U_ab можно определить и другим способом. Составим уравнение контура по второму закону Кирхгофа: E₁-E₂= I₁R₁-I₂R₂- U_ab, откуда выразим U_ab.

6. Определение проводимостей

По теореме об эквивалентном генераторе ток любой ветви схемы можно рассматривать, как сумму:

1) тока в этой же ветви при отключённом сопротивлении некоторой другой ветви;

2) тока в этой ветви при условии, что все ЭДС и источники тока схемы отключены, а в ветвь, которая ранее отключалась, включена ЭДС, равная U_x по величине и направлению.

Так, для схем рис.10 а,б,в :

, , , ,

где .

Зная токи схем (а) и (б), можно рассчитать токи схемы (в), а затем проводимости ветвей непосредственно по схеме (в) (рис.10). Например,

; .

С другой стороны,

; ,

где - токи и ЭДС схемы рис.10,а;

- токи и ЭДС схемы рис.10,б.

Из рис.10,а, 10,б следует, что Е₄=0, . , так как по теореме компенсации параллельно зажимам mn можно подключить ЭДС и считать её ЭДС, появившейся в четвёртой ветви.

Подставляя значения токов и ЭДС в формулы, получим

; .

7. Зависимость тока в третьей ветви от сопротивления второй ветви

Определение зависимости тока в третьей ветви от сопротивления второй ветви проводится с использованием свойства линейности токов и напряжений: любые токи и напряжения в схеме с линейными элементами линейно связаны друг с другом. Рассмотрим, к примеру, схему рис.11. Для третьей и второй ветвей можно записать

I₃=aI₂+b,

где I₂ можно определить как функцию R₂, используя п.4 задания и записав

I₂= ,

где R_вх – входное сопротивление схемы, определяемое в п.4. Коэффициенты a и b определяются с использованием данных для токов I₂, I₃, взятых из пп.2,4 задания.

ЛИТЕРАТУРА

1. Основы теории цепей/Г.В. Зевеке и др. М.: Энергоатомиздат, 1989.

2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. М.: Гардарики, 2001.

3. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. Л.: Энергия, Ч.1, 1975.

4. Шебес М.Р. Теория линейных электрических цепей в упражнениях и задачах. М.: Высшая школа, 1973.

5. Теоретические основы электротехники (теория цепей): Метод. указания/Сост. В.Н.Федонин, Л.С.Кононова. Саратов.Сарат. политехн. ин-т, 1977.

6. Сивяков Б.К., Дубинская И.Л., Осипова С.В. Теоретические основы электротехники: Учеб. пособие. Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т., 2003.

ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ

ПОСТОЯННОГО ТОКА

Методические указания

к выполнению расчётно-графической работы

по курсу «Теоретические основы электротехники»

Составила ЯВЧУНОВСКАЯ Светлана Викторовна

Рецензент А.А.Анашкин

Редактор Р.А.Козина

Лицензия ИД №06268 от 14.11.01

Подписано в печать 25.02.04		Формат 60×84 1/16
Бум. тип	Усл. печ. л. 1,39 (1,5)	Уч.-изд.л 1,4
Тираж 100 экз.	Заказ	Бесплатно

Саратовский государственный технический университет

410054 г.Саратов, ул. Политехническая, 77

Копипринтер СГТУ, 410054 г.Саратов, ул. Политехническая, 77

19