Задача 3

1. Дайте определение автокорреляционной функции (АКФ) сигнала и запишите формулу для её расчета.

2. Для заданного сигнала u(t) (рис. 6) с параметрами:

Длительность импульса τ_и=1 мс,

Амплитуда A=mn/2-p/4=2-0.25=1.75 (B)

определить АКФ аналитическим и графическим способами.

Решение:

1. Автокорреляционной функцией сигнала называется скалярное произведение сигнала на его сдвинутую копию. Для детерминированного сигнала конечной длительности АКФ определяется следующим выражением

где τ - временной сдвиг сигнала.

Для сигналов, являющихся вещественными функциями времени, обозначение комплексного сопряжения можно опустить

(10)

Из выражения (10) видно, что R_u(τ) характеризует степень связи (корреляции) сигнала u(t) со своей копией, сдвинутой на величину τ по оси времени. Ясно, что функция R_u(τ) достигает максимума при τ=0, так как любой сигнал полностью коррелирован с сами собой. При этом

т.е. максимальное значение корреляционной функции равно энергии сигнала.

С увеличением τ функция R_u(τ) убывает (не обязательно монотонно) и при

относительном сдвиге сигналов u(t) и u(t+τ) на время, превышающее длительность

сигнала, обращается в нуль.

Автокорреляционная функция сигнала является четной функцией. Эта функция сигнала связана с энергетическим спектром сигнала парой преобразований Фурье.

Автокорреляционная функция сигнала с неограниченной энергией связана преобразованиями Фурье со спектральной плотностью мощности и ее максимальное значение определяется не энергией, а средней мощностью сигнала. Неограниченную энергию имеют периодические сигналы, неограниченные во времени.

2. Определим акф аналитически.

Для расчёта АКФ аналитическим способом используем выражение (10)

Верхний предел учитывает сдвиг начала сигнала.

Тогда

Данное выражение получено для τ>0. Для сдвига τ<0 аналогично может быть получено выражение

Объединяя полученные выражения, АКФ заданного сигнала описывается

выражением

Сдвинутый на τ (в сторону опережения) импульс u(t+τ) показан на рисунке 7, б. Произведение u(t)u(t+τ) показано на рисунке 7, в. При увеличении сдвига τ произведение u(t)u(t+τ) будет уменьшаться и при τ=τ_иu(t)u(t+τ_и)=0. При этом площадь закрашенного треугольника равна нулю. Очевидно, что уменьшение u(t)u(t+τ) будет проходить линейно. При дальнейшем увеличении τ АКФ всегда будет равна нулю.

В случае отрицательного τ (сдвиг в сторону запаздывания) алгоритм построения аналогичен. Это показывает, что АКФ R_u (τ) - чётная функция. АКФ сигнала изо бражена ни рисунке 7, г.