Теория норм синдромов

Задание 1.

По построенной в задании 8 из КР «Прикладная математика» двоичной проверочной (10х31) – матрице Н реверсивного кода, найти порождающую (21х31) – матрицу G этого кода.

Решение задания 1.

При помощи элементарных преобразований строк матрицы Н_R, приведем ее к виду . Здесь – единичная матрица порядка n - k.

Из полученной матрицы составим порождающую матрицу :

Задание 2.

С помощью найденной порождающей матрицы закодировать информацию .

Решение задания 2.

Кодовое слово по данному информационному вектору

вычисляется по формуле:. Получим следующий вектор :

Задание 3.

По найденному в задании 2 кодовому слову попытаться восстановить сообщение .

Решение задания 3.

В силу структуры матрицы G информационный вектор идентично отображается на последние 21 координатe вектора и, следовательно, однозначно восстанавливается по вектору . Вектор записан в последних 21 координатах вектора .

Задание 4.

По найденному в задании 9 (Вариант 10) из КР «Прикладная математика» синдрому найти вектор ошибок сведением задачи к квадратному уравнению и решением последнего по формулам Чэня.

Решение задания 4.

В указанном задании 9, на основе кода с проверочной матрицей Н_R из решённого выше задания 1 приняло сообщение:

.

Наличие ошибок в принятом сообщении было определено вычислением синдрома H · = S. Оказалось, что в данном случае:

S = H · = (1001110000)^T ≠ .

Приведём таблицу из решения задания 9, задающую поле Галуа GF(32).

α	α	(00010)
α2	α2	(00100)
α3	α3	(01000)
α4	α4	(10000)
α5	α4 + α2 + α + 1	(10111)
α6	α4 + α3 + 1	(11001)
α7	α2 + 1	(00101)
α8	α3 + α	(01010)
α9	α4 + α2	(10100)
α10	α4 + α3 + α2 + α + 1	(11111)
α11	α3 + 1	(01001)
α12	α4 + α	(10010)
α13	α4 + α + 1	(10011)
α14	α4 + 1	(10001)
α15	α4 + α2 + 1	(10101)
α16	α4 + α3 + α2 + 1	(11101)
α17	α3 + α2 + 1	(01101)
α18	α4 + α3 + α	(11010)
α19	α + 1	(00011)
α20	α2 + α	(00110)
α21	α3 + α2	(01100)
α22	α4 + α3	(11000)
α23	α2 + α + 1	(00111)
α24	α3 + α2 + α	(01110)
α25	α4 + α3 + α2	(11100)
α26	α3 + α2 + α + 1	(01111)
α27	α4 + α3 + α2 + α	(11110)
α28	α3 + α + 1	(01011)
α29	α4 + α2 + α	(10110)
α30	α4 + α3 + α + 1	(11011)
α31	1	(00001)

В соответствии со структурой матрицы Н_R данный синдром S разбивается на компоненты s₁ = (10011) и s₂ = (10000). Сравнивая эти компоненты с данными таблицы, задающей поле Галуа GF(32), получаем: s₁ = α¹³; s₂ =α⁴. (31, 21) реверсивного кода с рассматриваемой проверочной матрицей Н_R исправляет одиночные и двойные ошибки в принимаемых сообщениях. Если бы сообщение содержало одиночную ошибку, то тогда имело бы место равенство: , что, очевидно, не выполняется.

Для определения координат двойной ошибки составим систему уравнений:

Левую часть второго уравнения приведём к общему знаменателю, то есть к виду: .

Получим ;

По теореме Виета х и y являются корнями квадратного уравнения: Произведем замену: t = α¹³ · z.

Тогда:

,

,

.

След . Поэтому наше квадратное уравнение обязательно имеет корни в поле GF(32).

Методом Чэня, то есть последовательной подстановкой элементов αⁱ, , в квадратное уравнение, находим корни этого уравнения α³ и α¹¹. Теперь найдем х и у:

t₁ = α¹³ · z₁ = α¹³ · α³ = α¹⁶ = x; t₂ = α¹³ · z₂ = α¹³ · α¹¹ = α²⁴ = y.

Действительно, f(α¹⁶) = α³²+α¹³·α¹⁶+α⁹ = 0;

f(α²⁴) = α⁴⁸+α¹³·α²⁴+α⁹ = 0.

Следовательно, двойная ошибка произошла на 17-й и 25-й позициях, то есть вектор-ошибка и истинным является сообщение:

.

Задание 5.

Для рассматриваемого в задании 4 кода составить таблицу образующих Г-орбит двойных ошибок, синдромов и норм . По синдрому ошибки из задания 4 найти вектор-ошибку норменным методом.

Решение задания 5.

Составим таблицу векторов ошибок на позициях 1 и i, 2 ≤ i ≤ 16, образующих Г-орбит , двойных ошибок, показателей и синдромов , где и показателей , норм синдромов .

Г-орбита	Образующая
	(1, 2)	19	18	6
	(1, 3)	7	5	12
	(1, 4)	11	8	19
	(1, 5)	14	10	24
	(1, 6)	29	24	22
	(1, 7)	22	16	7
	(1, 8)	2	26	28
	(1, 9)	28	20	17
	(1, 10)	15	6	21
	(1, 11)	27	17	13
	(1, 12)	3	23	26
	(1, 13)	13	1	14
	(1, 14)	12	30	11
	(1, 15)	4	21	25
	(1, 16)	9	25	3

Вычислим норму синдрома принятого сообщения: N=α¹³·α⁴=α¹⁷. Сравнивая вычисленную норму с данными таблицы, находим, что . Следовательно, двойная вектор-ошибка , которая присутствует в сообщении , принадлежит Г-орбите J₉ =<> и получается циклическим сдвигом вектора . Величина циклического сдвига определяется отношением первой компоненты синдрома к первой компоненте =α²⁸ синдрома . В данном случае . Следовательно, искомая ошибка – вектор-ошибка весом 2 с единицей на 17-й и 25-й позициях, что полностью совпадает с полученным ранее решением задания 4.

Задание 6.

В (31, 16) БЧХ-коде C₇ с проверочной матрицей где α– корень примитивного полинома p(x) = x⁵ + x⁴ + x² + x + 1, принято сообщение с синдромом S = S() = (). Найти вектор ошибок в принятом сообщении сведением задачи к кубическому уравнению и решением этого уравнения методом Чэня.

Решение задания 6.

Тройная ошибка в сообщении произошла на неизвестных позициях i, j, k, 1≤ i < j < k ≤ 31. В подматрице матрицы позициям i, j, k, соответствуют столбцы . Эти столбцы называют локаторами ошибочных позиций. Их рассматриваем как элементы поля Галуа GF(32), задаваемые с помощью полинома p(x)=x⁵+x⁴+x²+x+1. Синдром S = S() = () получается двоичным сложением столбцов матрицы с номерами i, j, k. Каждый -й столбец матрицы Н состоит из трёх частей, интерпретируемых как элементы x, х³, х⁵ поля GF(2⁴). Поэтому для определения истинных значений позиций i, j, k, искомой тройной ошибки мы с помощью синдрома S = S() = =() получаем следующую систему уравнений:

Левые части уравнений системы (1) есть симметрические степенные полиномы f₁, f₃, f₅ от трёх переменных x, y, z. Здесь . У нас, в условиях двоичной арифметики, . В теории симметрических полиномов существуют формулы Ньютона, которые связывают степенные симметрические полиномы с элементарными симметрическими полиномами . Элементарные симметрические полиномы от трёх переменных x, у, z выглядят следующим образом:

В полях характеристики 2 формулы Ньютона, связывающие c имеют специальный вид:

Подставим в систему (2) значения из системы (1): . Получим следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных :

Подставим в (3) значения . Получим систему:

Отсюда следует (4)

Из первого уравнения системы выражаем , и подставив во второе, имеем:

Подставим в первое уравнение системы (4):

Полученные значения служат, согласно теореме Виета, коэффициентами кубического уравнения , корнями которого и являются искомые в системе (1) неизвестные x, у, z.

Итак, решение системы (1) сводится к поиску корней кубического уравнения в поле GF(32).

Метод Чэня, то есть последовательная подстановка в уравнение элементов поля GF(32) вместо , позволяет найти следующие его корни: . Корни однозначно указывают тройную ошибку на 8-й, 12-й и 16-й позициях в сообщении .

Задание 7.

Задачу из задания 6 решить норменным методом.

Решение задания 7.

В двоичном коде длиной 31 имеется 4495 тройных ошибок, которые делятся на 145 Г-орбит. Чтобы избежать построения таблицы в 145 строк, модифицируем норменный метод, преобразуем искомую вектор-ошибку в другую тройную ошибку , синдром которой имеет первую компоненту . Пусть x, y, z – локаторы ошибочных позиций вектора , ненулевых координат вектора-ошибки . В качестве берём вектор-ошибку весом 3 с локаторами ненулевых позиций . Тогда компоненты синдрома выражаются следующим образом через компоненты синдрома :

.

У нас S = S() = (). Следовательно:

.

Таким образом = (). Тогда .

Известно, что в (31, 16) БЧХ-коде С₇ имеется в точности 5 Г-орбит тройных ошибок с первой компонентой синдрома, равной нулю. Составим таблицу образующих этих орбит, синдромов S() и норм синдромов .

№ п/п i		S()
1	(1, 2, 20)	(0, α20, α12)	(∞, ∞, α29)
2	(1, 3, 8)	(0, α9, α24)	(∞, ∞, α27)
3	(1, 4, 12)	(0, α14, α18)	(∞, ∞, α15)
4	(1, 5, 15)	(0, α18, α17)	(∞, ∞, α23)
5	(1, 6, 30)	(0, α3, α14)	(∞, ∞, α27)

Как видим, . Следовательно, получается циклическим сдвигом вектора (1, 5, 15). S() = (0, α¹⁹, α²⁹) = . Значит, – тройная вектор-ошибка с ненулевыми координатами на 22-й, 26-й, 5-й позициях, локаторы которых . Отсюда находятся локаторы x,y,z ненулевых координат искомого вектора ошибок :

.

Следовательно, – тройная ошибка на 8-й, 12-й и 16-й позициях, что полностью совпадает с решением задания 6.