Задача 1

1. Запишите формулы для расчета спектральных коэффициентов ряда Фурье в тригонометрической форме.

2. Вычислите спектральные коэффициенты для сигнала, приведенного на рис. 1. Интервал разложения равен [-τ/2; τ/2].

Число спектральных коэффициентов n = 5.

Исходные данные:

длительность импульса τ=14 мс,

аналитическое выражение для сигнала на рис. 1:

амплитуда сигнала

Решение:

1. Любую периодическую функцию u(t)=u(t+nT), удовлетворяющую в пределах периода условиям Дирихле, можно представить в виде ряда Фурье:



где ;

(2)

;

В выражениях (1) и (2) T - период сигнала (здесь Т=τ), - частота первой гармоники, n - номер гармоники.

Ряд (1) можно записать в другой форме:

(3)

Отдельные составляющие этой функции называют гармониками. Коэффициенты

ряда определяют по следующим формулам:

– амлитуды гармоник; (4)

–начальные фазы гармоник. (5)

Величина U₀ называется постоянной составляющей. Она равна среднему значению функции за период:

(6)

Зависимость амплитуд гармоник от частоты ω или от номера гармоник n называют амплитудным спектром (АС) сигнала. Зависимость начальных фаз гармоник от частоты или от номера гармоник называют фазовым спектром (ФС) сигнала. АС и ФС периодических сигналов - дискретные.

2. Определим частоту первой гармоники. Она равна частоте повторения импульсов:

Определим постоянную составляющую по формуле (6):

По формулам (2) определим коэффициенты a_n и b_n

По формуле (4) определим амплитуды гармоник входного сигнала. Рассчитанные значения для 5-ти гармоник запишем в таблицу 1.

Таблица 1

n	0	1	2	3	4	5
an,мВ	3183	1066	-213	91	-50	32
bn,мВ	0	0	0	0	0	0
Unm,мВ	3183	1066	213	91	50	32

Теперь по значениям таблицы 1 построим график АС сигнала (рисунок 2).

Задача 2

_{1. Для сигнала с параметрами:}

циклическая частота f₀=25

амплитуда A_m=mn/2+0.5p=4/2+0.5=2.5 (B)

найти спектральную плотность и амплитудный спектр сигнала.

2. Построить временную и спектральную диаграммы сигнала.

Решение:

1. Для разложения в спектр непериодического сигнала используется прямое преобразование Фурье (интеграл Фурье)

(7)

где u(t)- функция, описывающая сигнал.

Одним из условий применимости преобразования Фурье к функции u(t) является её абсолютная интегрируемость:

Это условие существенно ограничивает класс сигналов, для которых существует спектр Фурье, выражаемый обычными функциями. Например, гармоническое колебание, заданное при -∞<t<∞, не отвечает выше приведённому условию.

Рассмотрим заданный сигнал не обращая на то, что такой сигнал не является абсолютно интегрируемым, выражение для спектральной плотности запишем в форме (7)

Воспользуемся формулой

Т.к.

_То

Подставим исходные данные. Для этого рассчитаем частоту

Тогда выражение для спектральной плотности имеет вид

(В/Гц) (8)

или модуль спектральной плотности

(В/Гц) (9)

Эта функция равна нулю для всех частот, кроме ω=ω₀ и ω=-ω₀, при которых F(ω)

обращается в бесконечность. Гармоническому колебанию с конечной амплитудой соответствует бесконечно большая спектральная плотность при дискретных частотах ω=ω₀ и ω=-ω₀.

3. Построим временную и спектральную диаграммы сигнала. Выражение для сигнала имеет вид

_=2.5cost

Временная диаграмма сигнала представлена на рисунке 4.

Спектральная диаграмма сигнала, рассчитанная по формуле (9), представлена на рисунке 5.