Задача 11.61.

По выборке двухмерной случайной величины:

Двухмерная выборка № 61:

(1,8; -0,92); (0,37; -0,1); (3,26; -2,88); (2,73; -2,43); (0,98; -0,64); (-0,93; 1,36); (5,06; -4,74); (3,56; -2,8); (1,24; -0,16); (4,83; -4,38); (4,35; -3,38); (1,29; -0,82); (3,75; -3,41); (3,24; -2,86); (4,23; -4,21); (1,93; -1,36); (1,31; -0,74); (2,03; -1,51); (4,88; -3,96); (0,04; -0,01); (2,61; -2,34); (2,89; -2,45); (3,29; -2,89); (1,9; -1,22); (1,86; -1,23); (5,41; -4,57); (1,15; -0,42); (2,33; -2,32); (3,15; -2,33); (3,32; -2,56); (3,73; -2,61); (2,74; -2,14); (0,12; 0,2); (2,87; -1,98); (0,85; -0,34); (3,18; -2,55); (3,62; -3,46); (3,98; -3,55); (3,37; -2,32); (2,08; -1,58); (1,65; -1,59); (1,64; -1,21); (2,13; -0,98); (5,29; -4,99); (1,85; -1,81); (1,69; -0,82); (4,34; -3,88); (2,37; -2,01); (2,82; -2,1); (3,01; -2,83);

- вычислить точечную оценку коэффициента корреляции;

- вычислить интервальную оценку коэффициента корреляции (γ = 0,95);

- проверить гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости;

- вычислить оценки параметров a0 и a1 линии регрессии

- построить диаграмму рассеивания и линию регрессии.

Решение:

Для решения задачи удобно воспользоваться приведенной ниже

Таблицей (таблица 11.1). Значения в 3-ем, 4-ом и 5-ом столбцах вычисляются по формулам, приведенными в первой строке таблицы. В последней строке таблицы приведены средние арифметические значений каждого из столбцов. Таким образом получены:

- оценки математических ожиданий по каждой переменной:

-оценки начальных моментов второго порядка по каждой переменной:

-оценка смешанного начального момента второго порядка:

Таблица 1.11

№	x	y	x2	y2	x*y
1	1,8	-0,92	3,24	0,8464	-1,656
2	0,37	-0,1	0,1369	0,01	-0,037
3	3,26	-2,88	10,6276	8,2944	-9,3888
4	2,73	-2,43	7,4529	5,9049	-6,6339
5	0,98	-0,64	0,9604	0,4096	-0,6272
6	-0,93	1,36	0,8649	1,8496	-1,2648
7	5,06	-4,74	25,6036	22,4676	-23,9844
8	3,56	-2,8	12,6736	7,84	-9,968
9	1,24	-0,16	1,5376	0,0256	-0,1984
10	4,83	-4,38	23,3289	19,1844	-21,1554
11	4,35	-3,38	18,9225	11,4244	-14,703
12	1,29	-0,82	1,6641	0,6724	-1,0578
13	3,75	-3,41	14,0625	11,6281	-12,7875
14	3,24	-2,86	10,4976	8,1796	-9,2664
15	4,23	-4,21	17,8929	17,7241	-17,8083
16	1,93	-1,36	3,7249	1,8496	-2,6248
17	1,31	-0,74	1,7161	0,5476	-0,9694
18	2,03	-1,51	4,1209	2,2801	-3,0653
19	4,88	-3,96	23,8144	15,6816	-19,3248
20	0,04	-0,01	0,0016	0,0001	-0,0004
21	2,61	-2,34	6,8121	5,4756	-6,1074
22	2,89	-2,45	8,3521	6,0025	-7,0805
23	3,29	-2,89	10,8241	8,3521	-9,5081
24	1,9	-1,22	3,61	1,4884	-2,318
25	1,86	-1,23	3,4596	1,5129	-2,2878
26	5,41	-4,57	29,2681	20,8849	-24,7237
27	1,15	-0,42	1,3225	0,1764	-0,483
28	2,33	-2,32	5,4289	5,3824	-5,4056
29	3,15	-2,33	9,9225	5,4289	-7,3395
30	3,32	-2,56	11,0224	6,5536	-8,4992
31	3,73	-2,61	13,9129	6,8121	-9,7353
32	2,74	-2,14	7,5076	4,5796	-5,8636
33	0,12	0,2	0,0144	0,04	0,024
34	2,87	-1,98	8,2369	3,9204	-5,6826
35	0,85	-0,34	0,7225	0,1156	-0,289
36	3,18	-2,55	10,1124	6,5025	-8,109
37	3,62	-3,46	13,1044	11,9716	-12,5252
38	3,98	-3,55	15,8404	12,6025	-14,129
39	3,37	-2,32	11,3569	5,3824	-7,8184
40	2,08	-1,58	4,3264	2,4964	-3,2864
41	1,65	-1,59	2,7225	2,5281	-2,6235
42	1,64	-1,21	2,6896	1,4641	-1,9844
43	2,13	-0,98	4,5369	0,9604	-2,0874
44	5,29	-4,99	27,9841	24,9001	-26,3971
45	1,85	-1,81	3,4225	3,2761	-3,3485
46	1,69	-0,82	2,8561	0,6724	-1,3858
47	4,34	-3,88	18,8356	15,0544	-16,8392
48	2,37	-2,01	5,6169	4,0401	-4,7637
49	2,82	-2,1	7,9524	4,41	-5,922
50	3,01	-2,83	9,0601	8,0089	-8,5183
Средние	2,6238	-2,0966	8,873554	6,35631	-7,43118

На основе этих данных легко вычислить оценки дисперсий:

и оценку корреляционного момента:

Вычислим точечную оценку коэффициент корреляции по формуле

Вычислим интервальную оценку коэффициента корреляции с надежностью γ = 0,95. Для этого в таблице функции Лапласа найдем значение, равное γ/2= 0,475 и определим значение аргумента, ему соответствующее: z_0,95=argΦ(0,475)=1,96.

Вычислим вспомогательные значения a, b:

Таким образом, доверительный интервал для коэффициента корреляции имеет вид:

Проверим гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости:

H₀: R_xy=0;

H₁: R_xy≠0.

Так как объем выборки велик (n ≥ 50 ), то вычислим значение критерия по формуле:

Определим значение Z_α из таблицы функции Лапласа:

Так как Z > Z_α , то гипотеза H₀ отвергается, т.е. между величинами X и Y существует корреляция.

Вычислим оценки параметров a₀^* и a₁^* линии регрессии y(x)=a₀^*+ a₁^*x по формуле:

Уравнение линии регрессии имеет вид:

Построим диаграмму рассеивания, изобразив значения исходной

двумерной выборки {(х1, у1),(х2, у2),…,(х50, у50)}. в виде точек с

координатами (х_i, у_i) на плоскости в декартовой системе координат, и линию

регрессии (рис. 11.1).

Рис. 11.1 Диаграмма рассеивания и линия регрессии.