Твимс

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Факультет заочного и дистанционного обучения

Специальность: информационные технологии и управление в технических системах

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

Вариант №4

Бойчука Вячеслава Анатольевича

Группа №702421

зачётная книжка №702421-04

Электронный адрес: beychik@mail.ru

В задачах 1.1-1.5 подбрасываются две игральные кости.

1.5. Определить вероятность того, что выпадут разные, но четные числа.

№1,5

Решение.

Воспользуемся классическим определением вероятности

Р=

m–число исходов интересующего нас события, выпадут разные числа, но четные числа

m=6 ?????? –перечислить комбинации.

n=6²

p=6/36=

Ответ: р=

№2.15

В задачах 2.1-2.30 приведены схемы соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны p1=0,1; p2=0,2; p3=0,3; p4=0,4; p5=0,5. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.

Решение.

Обозначим А_i– событие, состоящее в том, что i-ый элемент выйдет из строя

А– событие состоящее в том, что сигнал пройдет со входа на выход

Рассмотрим событие – сигнал не пройдет.

=А₄

где – событие состоящее в том, что сигнал не пройдет по участку АВ

С=

Вероятность прохождения сигнала через участок АВ так как события А_i независимые, то

Р(С)=

Р()=1– Р(С)=1-

Р()=1–0,9*0,8*0,7=0,496

Р()=Р()*Р(А₄)=0,496*0,4=0,2133

Вероятность события А

P(A)=1– Р()=1–0.2133=0.7867

Ответ: Р(А)=0,7867

+

3.15. Прибор состоит из трех блоков. Исправность каждого блока необходима для функционирования устройства. Отказы блоков независимы. Вероятности безотказной работы блоков соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Определить вероятность того, что откажет два блока.

3.19. Условие задачи 3.15. В результате испытаний прибор вышел из строя. Определить вероятность того, что отказали три блока.

№3.19

Решение.

р₁=0,6 р₂=0,7 р₃=0,8

Обозначим А событие состоящее в том, что прибор отказал

А_i–i-ый блок отказал

Р(А₁)=р₁ Р(А₂)=р₂ Р(А₃)=р₃

Можно выдвинуть четыре гипотезы:

Н₁– отказал один блок

Н₁=А₁+ А₂+ А₃

Н₂– отказали два блока

Н₂=А₁А₂+ А₁А₃+ А₃А₂

Н₃– отказали три блока

Н₃=А₁А₂А₃

Н₄– все блоки работают

Н₄=

Р(Н₁)=(1–р₁)р₂р₃+(1–р₂)р₁р₃+(1–р₃)р₂р₁=0,4*0,7*0,8+0,6*0,3*0,8+0,6*0,7*0,2=0,452

Р(Н₂)=(1–р₁)(1–р₂)р₃+(1–р₁)(1–р₃)р₂+(1–р₃)(1–р₂)р₁=0,4*0,3*0,8+0,4*0,7*0,2+0,6*0,3*0,2=0,188

Р(Н₃)=(1–р₁)(1–р₂)(1–р₃)=0,4*0,3*0,2=0,024

Р(Н₄)=р₁р₂р₃=0,6*0,7*0,8=0,336

Проверка

Р(Н₁)+ Р(Н₂)+ Р(Н₃)+ Р(Н₄)=0,452+0,188+0,024+0,336=1

Условная вероятность отказа прибора, если отказал один блок

Р_Н1(А)=1

Если отказали два блока

Р_Н2(А)=1

Если отказали три блока

Р_Н3(А)=1

Если все блоки работают

Р_Н4(А)=0

Вероятность события А найдем по формуле полной вероятности

Р(А)=Р(Н₁)* Р_Н1(А)+ Р(Н₂)* Р_Н2(А)+ Р(Н₃)* Р_Н3(А)+ Р(Н₄)* Р_Н4(А)

Р(А)=0,452*1+0,188*1+0,024*1+0,336*0=0,664

Вероятность того, что прибор вышел из строя по причине поломки трех блоков найдем по формуле Байеса

Р_А(Н₃)=

Ответ: Р_А(Н₃)=0,0361

+

4.1. Вероятность изготовления стандартного изделия равна 0,95. Какова вероятность того, что среди десяти изделий не более одного нестандартного?

№4,1

Решение.

р=0,95 n=10

Вероятность того, что не более одного нестандартного найдем по формуле

Р(к≤1)=Р(к=0)+ Р(к=1)

Вероятность того, что не будет ни одного нестандартного

Р(к=0)=р¹⁰=0,95¹⁰=0,5987

Р(к=1)=р⁹(1-р)¹=10*0,95⁹*0,05=0,3151

Р(к≤1)=0,5987+0,3151=0,9138

Ответ: Р(к≤1)= 0,9138

+

В задачах 5.1-5.30 дискретная случайная величина Х может принимать одно из пяти фиксированных значений x1, x2, x3, x4, x5 с вероятностями p1, p2, p3, p4, p5 соответственно (конкретные значения приведены в табл. 1.1). Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины Х. Рассчитать и построить график функции распределения.

№5,8

Х	-5	-2	0	1	2
Р	0,1	0,2	0,1	0,3	0,3

Решение.

Математическое ожидание

М(Х)=

М(Х)=-5*0,1-2*0,2+0*0,1+1*0,3+2*0,3=0

Дисперсия

Д(Х)=М(Х²)–( М(Х))²

Где М(Х²)=

М(Х²)=(-5)²*0,1+(-2)²*0,2+0²*0,1+1²*0,3+2²*0,3=4,8

Д(Х)=4,8–0²=4,8

Функция распределения

F(x_i)=P{X<x_i}=P{(X=x₁)È(X=x₂)È ... È(X=x_i-1)}= p₁+...+p_i-1.

F(X)= F(X)=

График функции распределения

+

В задачах 6.1-6.30 (параметры заданий приведены в табл. 1.2) случайная величина Х задана плотностью вероятности

Определить константу С, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины Х, а также вероятность ее попадания в интервал.

№6,14

Решение.

f(x)=

Для определения постоянной с воспользуемся свойством плотности вероятности

5/с=1

с=5

f(x)=

математическое ожидание

М(Х)=

М(Х)=

Дисперсия

Д(Х)=М(Х²)–(М(Х))²

Где М(Х²)=

М(Х²)=

Д(Х)=2/25–(1/4)²=0,0175

Функция распределения

F(x)=

F(X)= при x<0

F(X)= при x≥0

F(X)=

Вероятность того, что 0<x<1 найдем по формуле

Р(0<x<1)=

В задачах 7.1-7.30 (условия приведены в табл. 1.3) случайная величина Х распределена равномерно на интервале [a,b]. Построить график случайной величины Y=(X) и определить плотность вероятности g(y).

№7.18

Решение.

Y=

Плотность вероятности СВ Х найдем по формуле

f(x)=

f(x)= =4/(π3)

График функции Y=при –π/4≤x≤ π/2

x₁=-arcsin(y)

x₂= arcsin(y)

x₁’=(-arcsin(y))= -

x₂’=(arcsin(y))=

g(y)=f(ψ(y)) ψ’(y)

Так как функция Y отрезке –π/4≤x≤ π/4 не монотонная, то для нахождения плотности вероятности воспользуемся формулой

g(y)=f(-arcsin(y))*+f(arcsin(y))* =, 0<y≤

На отрезке π/4≤x≤ π/2 функция монотонная

g(y)= f(arcsin(y))* =, <y≤1

Ответ: g(y)= +

В задачах 8.1-8.30 (конкретные параметры приведены в табл. 1.4) двухмерный случайный вектор (Х, У) равномерно распределен внутри выделенной жирными прямыми линиями на рис. 1.1 области B. Двухмерная плотность вероятности f(x,y) одинакова для любой точки этой области B:

Вычислить коэффициент корреляции между величинами X и Y.

№8.11

Решение.

y=x

y=4-x

Коэффициент корреляции

r=

плотность распределения СВ (x,y) найдем по формуле

f(x,y)=1/S

где S–площадь фигуры

S=0.5*2*4=4

f(x,y)=1/4

Плотность распределения f(x) найдем по формуле

f(x)=

f(x)= , 0<x≤2

f(x)= , 2<x≤4

f(x)=

f(y)=

f(y)= ,0<y≤2

f(y)=

Математическое ожидание

М(Х)=

М(Y)=

М(Y)=

К=

Среднее квадратическое отклонение

М(Y²)=

r=

r=0

Ответ: r=0

+

В задачах 9,1-9,40вычислить математическое ожидание и дисперсию величин U и V, а также определить коэффициент корреляции

№9,1

Решение:

Коэффициент корреляции найдем по формуле

Воспользуемся свойством математического ожидания

_{Дисперсия}

Коэффициент корреляции

ЗАДАЧА 10.

По выборке одномерной случайной величины:

- получить вариационный ряд;

- построить на масштабно-координатной бумаге формата А4 график эмпирической функции распределения F^*(x);

- построить гистограмму равноинтервальным способом;

- построить гистограмму равновероятностным способом;

- вычислить точечные оценки математического ожидания и дисперсии;

- вычислить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии (γ = 0,95);

- выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия ² и критерия Колмогорова ( = 0,05).

№10,32

Вариационный ряд

0,19	3,79
1,32	3,83
1,58	3,86
1,6	3,93
1,67	3,94
1,68	3,97
1,7	4,01
1,82	4,01
1,98	4,02
2,13	4,02
2,17	4,07
2,22	4,17
2,31	4,18
2,31	4,24
2,51	4,29
2,53	4,30
2,53	4,35
2,53	4,37
2,58	4,39
2,65	4,40
2,7	4,41
2,7	4,48
2,78	4,51
2,78	4,52
2,88	4,54
2,9	4,60
2,96	4,64
3,01	4,66
3,01	4,82
3,04	4,89
3,04	4,95
3,07	4,96
3,1	5,02
3,12	5,04
3,14	5,05
3,22	5,05
3,27	5,10
3,27	5,27
3,32	5,38
3,41	5,38
3,41	5,44
3,48	5,45
3,49	5,47
3,52	5,47
3,57	5,48
3,63	5,53
3,65	5,67
3,69	5,97
3,73	6,11
3,74	6,86

Эмпирическая функция распределения

Разобьем множество значений на 10 интервалов

Шаг интервала

h=

h=(6,86-0,19)/10=0,667

0,190	0,857	0,667	1	0,01	0,010	0,01
0,857	1,524	0,667	1	0,01	0,015	0,02
1,524	2,191	0,667	9	0,09	0,135	0,11
2,191	2,858	0,667	13	0,13	0,195	0,24
2,858	3,525	0,667	20	0,2	0,300	0,44
3,525	4,192	0,667	19	0,19	0,285	0,63
4,192	4,859	0,667	16	0,16	0,240	0,79
4,859	5,526	0,667	16	0,16	0,240	0,95
5,526	6,193	0,667	4	0,04	0,060	0,99
6,193	6,860	0,667	1	0,01	0,015	1,00

Гистограмма равноинтервальным способом

Гистограмма равновероятностным способом

0,190	0,857	1,98	10	0,1	0,051
0,857	1,524	0,53	10	0,1	0,189
1,524	2,191	0,34	10	0,1	0,294
2,191	2,858	0,37	10	0,1	0,270
2,858	3,525	0,38	10	0,1	0,263
3,525	4,192	0,28	10	0,1	0,357
4,192	4,859	0,34	10	0,1	0,294
4,859	5,526	0,54	10	0,1	0,185
5,526	6,193	0,49	10	0,1	0,204
6,193	6,860	1,42	10	0,1	0,070

Прямоугольники равновероятнстной гистограммы должны иметь одинаковую площадь!

Точечная оценка математического ожидания

, где Х_i – середина i-го интервала

Точечная оценка дисперсии