2. Границя функції. Нехай функція f(х) визначена в усіх точках проміжку (а;b), за вийнятком, можливо, деякої точки (а;b). Побудуємо послідовність значень аргументу функції f(х):

(*)

таку, щоб всі члени послідовності належали проміжку (а;b) і послідовність збігалась до точки х₀ :

.

Тоді значення функції f(х) також утворюють деяку числову послідовність.

. (**)

Кажуть, що число А є границею функції f(х) при х, яке прямує до х₀, якщо для будь-якої послідовності значень аргументу (*), яка збігається до числа х₀, послідовність значень функції (**) збігається до числа A, і записують:

.

Є й інше, еквівалентне сформульованому вище, означення границі функції.

Кажуть, що число А є границею функції f(x) при x, яке прямує до х₀, якщо для будь-якого малого числа знайдеться таке мале число , яке , що при всіх , які задовольняють нерівність , виконується нерівність

.

Якщо f(x)→A, коли х→х₀ , то на графіку функції у = f(x) це ілюструється таким чином (рис. 45). Оскільки з нерівності випливає нерівність , то це означає, що для всіх точок х які лежать від точки х₀ не далі ніж на δ, точки Μ графіка функції у = f(х)

_____________________________________________________________

80