5). Обернені тригонометричні функції.

а) функція у = arcsinx. Функція у = sinx визначена і неперервна при будь-якому x R. Виділимо на числовій осі Ох проміжок . На цьому проміжку функція у = sinx зростає від –1 до 1, є неперевною і монотонною, тобто вона має обернену функцію; її звуть арксинусом і записують х = arcsiny. Позначивши незалежну змінну буквою х, а залежну буквою у, далі писатимемо у = arcsinх. Область її визначення - проміжок [–1, 1], область зміни – проміжок . Графік подано на рис. 41.

Рис.41 Рис. 42 Рис.43 Рис.44

б) Функція у = arccosx. Функція у =cosx визначена і неперевна при будь-якому x R. Виділимо на числовій осі Ох проміжок . На цьому проміжку функція у = cosх спадає від 1 до –1, є неперервною і монотонною, тобто вона має обернену функцію; її звуть арккосинусом і записують х = arccosy. Позначивши незалежну змінну буквою х, а залежну - буквою у, далі писатимемо у = arсcosx. Область зміни проміжок ; область визначення - проміжок [–1;1]. Графік подано на рис.42.

в) функція у = arctgx. Функція у = tgx неперервна і монотонна у своїй області визначення. Виділимо на числовій осі проміжок . На цьому проміжку функція відповідає умовам існування у неї оберненої функції. Функцію обернену до у = tgx звуть арктангенсом і записують х = arctgy, де у - незалежна змінна, а х - залежна. Позначивши незалежну змінну буквою х, а залежну - буквою у, далі писатимемо у = arctgx.

У неї область визначення - вся числова пряма; область зміни - проміжок . Графік подано на рис. 43.

г) Функція у = arcctgx. Функція у = ctgx неперервна у своїй області визначення. Виділимо на числовій осі Ох проміжок . На цьому проміжку функція у = ctgx відповідає умовам функції, яка має обернену. Цю функцію звуть арккотангенсом і записують х = arcctgy, де у - незалежна змінна, а х - залежна. Позначивши, незалежну змінну буквою х, а залежну - буквою у, далі писатимемо у = arcctgx Область визначення - вся числова пряма; область зміни - проміжок . Графік функції у = arcctgx подано на рис. 44.

5. Складна функція. Нехай у - f(х) - числова функція з областю визначення D(f) і областю аміни E(f), z = g(y) - числова функція, задана на множині E(f) або деякій її підмножині, з областю зміни E(g). Відповідність, яка відносить кожному даному числу х з множини D(f) єдине число у з множини E(f), a числу у - єдине число z з множини E(g) звуть складною функцією і записують

z = G(f(x)).

Більшість функцій, які вивчають у математиці, можна розглядати як складні функції.

Приклад. функцію можна записати: ; z = y –1.

Операція "функція від функції", може робитись не один, а будь-яке число разів.

Приклад. функція у = lg(sin(x² + 1)) утворюється внаслідок таких операцій (визначення таких функцій);

, , .

6. Елементарна функція. Елементарною функцією зветься функція, яка може бути задана однією формулою у = f(x), де праворуч записано вираз, складений із основних елементарних функцій і сталих величин за допомогою скінченного числа операцій додавання, віднімання, множення, ділення та узяття "функції від функції". Таким чином, елементарні функції є функції, які задані аналітично.

Приклад. Функція , є елементарною.

Приклад. Функція у = … = n! не є елементарною, тому що число операцій змінюється із змінною n. Читається "ен факторіал".

7. Алгебраїчні функції. До числа алгебраїчних функцій належать такі елементарні функції:

1) ціла раціональна функція або многочлен

,

де - сталі числа, які є коефіцієнтами; n - ціле додатне число, яке має назву степінь многочлена. Зрозуміло, що ця функція визначена і неперервна при будь-якому .

Приклад. у = ах + b - лінійна функція. у = ах² +bх+с - квадратична функція . Ці функції розглядалися раніше.

2) Дробово-раціональна функція. Ця функція визначається як відношення двох многочленів:

.

Приклад. Функція у = а/х, виражає обернено пропорційну залежність.

3) Ірраціональна функція. Якщо у функції у = f(х) має місце піднесення до степені з раціональним дробовим показником, то вона є ірраціональною.

Приклад. Функція є ірраціональна.

Зауваження. Розглянуті три види алгебраїчних функцій не вичерпують усіх алгебраїчних функцій. Функції, які не є алгеб­раїчні, звуть трансцендентними.

Приклад. Функція у = cosx + 10^х є трансцендентна.

РОЗДІЛ 2. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ.

неперервність ФУНКЦІЙ

1. Границя змінної величини. Будемо розглядати упорядковані змінні величини, які змінюються спеціальним чином, який визначається термінами "змінна величина прямує до границі". Далі поняття границі змінної (функції) буде мати фундаментальне значення, тому що з ним безпосередньо зв'язані основні поняття математичного аналізу: похідна, інтеграл та ін.

Визначення. Стале число а є границею змінної величини х, якщо для кожного наперед даного довільно малого числа можна вказати таке значення змінної х, що всі наступні значення змінної будуть задовольняти нерівності |х - а| < .

Якщо число а є границя змінної величини х, то кажуть, що х прямує до границі а, і пишуть або lίт x = а.

Приклад. Змінна величина x послідовно набуває значення:

, , ,… ,…

Довести, що змінна величина має границю а = 1.

Розв'язання. За визначенням:

.

Для будь-якого довільно малого всі наступні значення змінної, починаючи з номера n, де , буде виконуватись нерівність ,що і треба було довести.

Зауваження:

а) границя сталої величини є сама стала величина;

б) змінна величина не може мати дві границі;

в) не кожна змінна величина має границю.