23.Числовые ряды. Свойства сходящихся рядов.

Дана числовая последовательность а1,а2,а3…аn

И выражение вида а1+а2+а3+…аn или (1)

Называется числовым рядом или рядом числа

А1 а2 а3 …аn, называются членами ряда,

а число аn с общим номером n называется общим

n-м членом ряда. Суммы конечного числа первых

членов ряда S1=а1 S2=a1+a2, Sn= a1+a2+…an

называется частичными суммами ряда (1), т.к. чис-

ло членов ряда бесконечно, то частичные суммы

образуют

числовую последовательность S1 S2 S3…Sn (2)

ряд (1) называется сходящимся, если

последовательность(2) его частичных сумм

сходится к некоторому числу S, в этом случае число

S показывается суммой ряда (1). В случае

сходимости ряда (1) его сумму записывают в виде

символического равенства S=a1+a2+a3+…an+…

или S=

Пример

е=2,71… П=3,14…

е=

П=

Свойства сходящихся рядов

1. если сходится ряд а1+а2+а3+…аn+…то сходится и

любой ряд полученный из него отбрасываем конеч.

Числа членов

2. если ряд а1+а2+а3+…аn+… и его сумма =S а (к)

некоторое число, то сходится и ряд ка1+ка2+…каn+…

и его сумма равна кS

3) если ряды и сходятся, а их суммы

равны S’ и S” ,то и ряд также сходятся,

причем его сумма будет равна S’+S”

4. если сходится ряд а1+а2+а3+…аn+…, то сходится

любой ряд, полученный из него группировкой слагаемых,

причем суммы рядов одинаковые.

24.Числовые ряды. Необходимый признак сходимости ряда.

Дана числовая последовательность а1,а2,а3…аn

И выражение вида а1+а2+а3+…аn или (1)

Называется числовым рядом или рядом числа

А1 а2 а3 …аn, называются членами ряда,

а число аn с общим номером n называется общим

n-м членом ряда. Суммы конечного числа первых

членов ряда S1=а1 S2=a1+a2, Sn= a1+a2+…an

называется частичными суммами ряда (1), т.к. чис-

ло членов ряда бесконечно, то частичные суммы

образуют

числовую последовательность S1 S2 S3…Sn (2)

ряд (1) называется сходящимся, если

последовательность(2) его частичных сумм

сходится к некоторому числу S, в этом случае число

S показывается суммой ряда (1). В случае

сходимости ряда (1) его сумму записывают в виде

символического равенства S=a1+a2+a3+…an+…

При рассмотрении радов возникает 2 задачиТ:исследовать ряд на сходимость и зная что ряд сходится найти его суммуеорема.

Если ряд сходится, то предел его общего члена равен 0.

lim а=0

Эквивалентная формулировка:

Если предел общего члена не равен 0 или не существует, то данный ряд расходится.

Е сли сходится, то lim a=0.

Если lim a=0, то расходится.

Доказательство : пусть данный ряд сходится и его сумма равна S, тогда для любого натурального n имеем: Sn=Sn-1+an

An=Sn-Sn-1; lim an=lim(Sn-Sn-1)=limSn-limSn-1=S-S=0.

25.Достаточные признаки сходимости рядов.

Теорема.

Первый признак сходимости.

Пусть даны 2 ряда с положительными членами.

а1+а2+а3+…+а =Σ а (3)

в1+в2+в3+…+вн=Σ в (4)

Причем члены ряда (3) не превосходят соответствующих членов ряда (4) а≤в, тогда из сходимости ряда (4) (большего) следует сходимость (3).

Эквивалентно из расходимости меньшего ряда следует расходимость большего.

Второй признак сходимости.

Если для рядов (3) и (4) с положительными членами существует отличный от нуля предел отношения lim = u ≠ 0, то ряды (3) и (4) сходятся или расходятся одновременно.

Для решения вопроса сходимости того или иного ряда обычно пытаются сравнить его с одним из стандартных рядов. Таким стандартным рядом в случае проверки сходимости является бесконечно убывающая прогрессия. В случае проверки расходимости – гармоническая.

Признак Даламбера.

Если существует предел =d, то ряд сходится в случае, если d<1 и ряд расходится d>1.

Если d=1, то возможно как сходимость, так и расходимость.

Признак Коши.

Если существует , то ряд сходится L<1, L>1- расходится.

Любую числовую последовательность а1,а2,а3,…,а можно рассматривать как функцию, определенную на множестве натур. чисел.

а =f(n), n=1,2…

Следовательно, всякий числовой ряд можно представить в виде

f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)+…

Если функция f(n) монотонно убывает может оказаться полезным следующий признак сходимости:

Интегральный признак сходимости.

Пусть неотрицательная функция y=f(x) определена и монотонно убывает для x≥1, тогда для сходимости ряда Σf(n).

Необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл

26.Знакопеременные ряды. Признак Лейбница

Знакопеременные ряды

Т.е. это ряды с членами произвольно знака.

Знакочередующиеся ряды

Теорема Лейбница

Особенно часто среди знакопеременных рядов встречаются ряды, члены который имеют чередующиеся знаки, т.е. знакочередующиеся ряды.

Условимся считать первый член ряда положительным, тогда ряд запишется в следующем виде:

a₁ – а₂ + а₃ - а₄ + …+ (-1)^n-1а_n - …

Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и стремятся к

0, когда n  , то

1) ряд сходится;

2) любой остаток ряда не превосходит по абсолютной величине первого из своих членов и имеет с ними одинаковый знак.

27.Абсолютная и условная сходимость числовых рядов.

Пусть дан знакопр-й ряд.Рассм-м ряд сос-й из абсолют-х в-н его ч –ов: |a1|+|a2|+…+|an|;ряд будет по-м.Знакопр-й ряд абсолютно сх-ся если сх-ся ряд сос-й из мод-ей его ч –ов.Т:Всякий абс-но сх-ся ряд сх-ся, сумма такого ряда= раз-ти между суммой пол-х его ч-ов и суммой отр-х его ч –ов.т.к. абсолют-я сх-ть ряда оз-ет сх-ть ряда сос-го из мод-ей его ч-ов то для ус-я сх-ти можно п-ся любыми из р-х ранее пр-ов(Далампера,Коши и т.д.);Условно сх-ся ряды. Ряд а1+а2+…an- усл-но сх-ся если он ус-но сх-ся по Т. Лейбница, а ряд сос-й из мод-ей его ч-ов рас-ся.Св-ва:Для ус-но сх-ся рядов не вып-ся превед-я Т. Т.к. ряды сос-е из пол-х и отр-х ч-ов рас-ся.Т.Римана:Если ряд сх-ся ус-но то в р-те его ч –ов можно пол-ть ряд им-й люб-ю сумму, а так же рас-ся ряд