16. Дифференцирование сложной функции нескольких переменных. Инвариантность формы первого дифференциала.

Дифф-л функции неск. перемен – главн лин отн ∆х часть ∆U, независимой переменной – любое число, не завис от х, берем ∆х_i. .

Теорема о дифференцировании сложной функции ( , где берутся в х0, в t0). Д-во. Приращ Δt_j→ приращ Δx_i→ раскладываем ΔU по опр диф-ти по х и ∆x_i по t. .

Теорема Эйлера: однородная функция cтепени р в {M}, если для любой M(х1,…) из {M} и любого t: N(tx1,…) принадл {M}: f(tx₁,...,tx_m)=t^p*f(x₁,..). Тогда сумма частных производных, умноженных на соответств. координату, равна p*f(x1,...).

Инвариантность формы. Представляем как сложную функцию через младшие аргументы Т, затем выражаем частные производные по Т, собираем члены при производных по Х, получаем дифференциал через Х. доказано.

16. Производная по направлению. Градиент.

U опред на окр х0 и диф-ма в х0.Фикс е – ед вектор, корд кот – направл косинусы. Луч через х0: х=х0+tе. Рассмотрим функцию U=f(x0+te). Производная этой функции при t=0 наз-ся производной по направлению e. , все в точке М0.

Градиентом наз-ся вектор

Два утверждения: 1)производная по направлению градиента максимальна среди всевозможных направлений. 2)значение производной по направлению градиента равно его длине. Градиент не зависит от выбора СК, ибо он инвариантен.

Геом смысл градиента. Градиент является нормалью к касательной плоскости к поверхности уровня. (поверхность, где функция f(x,y,z)=c).

16. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных.

Опр.: Если предположить, что нами уже введено понятие (n-1)-ой частной производной функции u=f(x₁,…,xm) по аргументам x_i1,..,x_i(n-1) и эта (n-1)-я частная производная имеет в точке M частную производную по аргументу x_in, то указанную частную производную называют n-ой частной производной функции u=f(M) в точке M по аргументам x_i1,…,x_in.

Опр.: Если не все индексы i₁,…,i_n совпадают между собой, то производную называют смешанной.

Опр.: Последовательно для n=2,3,… назовем функцию u=f(M) n раз дифференцируемой в точке M0, если эта функция (n-1) раз диф-ма всюду в окрестности точки M₀ и все ее частные производные порядка (n-1) являются диф-ми в точке M₀ функциями.

Теорема: Для того, чтобы функция u=f(M) была n раз диф-мой в точке M₀, достаточно, чтобы все ее частные производные n-го порядка существовали в окрестности точки M₀ и являлись непрерывными в точке M₀ функциями.

Теорема: Пусть функция u=f(x,y) дважды диф-ма в точке M₀. Тогда в этой точке частные производные f_xy и f_yx равны.

Доказательство: Рассмотрим выражение Ф=f(x⁰+h,y⁰+h)-f(x⁰+h,y⁰)-f(x⁰,y⁰+h)+f(x⁰,y⁰), где h-любое малое число, позволяющее точке M(x⁰+h,y⁰+h) находится в окрестности точки M₀.

Ф==’(x⁰+θh)h=[f_x’(x⁰+θh,y⁰+h)-f_x’(x⁰+θh,y⁰)]h={[f_x’(x⁰+θh,y⁰+h)-f_x’(x⁰,y⁰)]-[f_x’(x⁰+θh,y⁰)-f_x’(x⁰,y⁰)]}h (теорема Лагранжа для =(x⁰+h)-(x⁰), 0<θ<1). Так как f_x’ диф-ма в точке M₀, то Ф=[f_xx(x⁰,y⁰)θh+f_xy(x⁰,y⁰)h+α₁θh+β₁h]+[f_xx(x⁰,y⁰)θh+α₂θh]=[f_xy(x⁰,y⁰)+α]h², где α=α₁θ+β₁-α₂θ – бесконечно малая при h0 функция. При =(y⁰+h)-(y⁰) получаем Ф=[f_yx(x⁰,y⁰)+β]h²., где β0 при h0. Приравнивая получаем, что f_xy(x⁰,y⁰)=f_yx(x⁰,y⁰).

Теорема: Пусть в некоторой окрестности точки M₀(x⁰,y⁰) функция u=f(x,y) имеет частные производные f_x’, f_y’, f_xy,f_yx. Пусть, кроме того, производные f_xy, f_yx непрерывны в точке M₀. Тогда в этой точке f_xy=f_yx.

Доказательство: Ф=f(x⁰+h,y⁰+h)-f(x⁰+h,y⁰)-f(x⁰,y⁰+h)+f(x⁰,y⁰),

Ф==’(x⁰+θh)h=[f_x’(x⁰+θh,y⁰+h)-f_x’(x⁰+θh,y⁰)]h={[f_x’(x⁰+θh,y⁰+h)-f_x’(x⁰,y⁰)]-[f_x’(x⁰+θh,y⁰)-f_x’(x⁰,y⁰)]}h.

Формула Лагранжа по пер-ой y на сегменте [y⁰,y⁰+h]. Ф=f_xy(x⁰+θh,y⁰+θ₁h)h², где 0<θ₁<1.

Ф=[f_xy(x⁰,y⁰)+α(h)]h², где α(h)0 при h0. Аналогично по x. Приравнивая получаем f_xy=f_yx.

Теорема: Пусть функция u=f(M) n раз диф-ма в точке M₀. Тогда в этой точке значение любой смешанной частной производной n-ого порядка не зависит от порядка, в котором производятся последовательные диф-ния.

Доказательство: Докажем, что . Рассмотрим функцию и применим предыдущую теорему. Теорема доказана.

Опр.: Предположим, что уже введен дифференциал d^n-1u порядка n-1 и что функция u=f(M) n раз диф-ма в данной точке M, а ее аргументы являются либо независимыми переменными, либо n раз диф-мыми функциями некоторых независимых переменных t₁,…,t_k. Значение (d^n-1u) диф-ла от (n-1)-го диф-ла d^n-1u, взятое при x_i=dx_i, называется n-м диф-лом .

dⁿu=(d^n-1u) при x_i=dx_i.