9. Понятие длины плоской кривой. Формулы для вычисления длины дуги кривой.

Множество {M} всех точек М, координаты кот х и у опред ур-ми x=f(t), y=g(t) при t из [a,b], наз простой плоской кривой L, если различным значениям t отвечают различные точки М. Пр: непр функция на сегм. Одна и та же L может быть параметризована разными способами. Простая замкнутая кривая – объединений двух простых кривых с совпад граничными точками различными не граничными.

Конечная или бесконечная сист сегм {[t_i-1,t_i]} разбивает множ {t} , если их совокупность есть {t} , а общими точками могут быть лишь концы. f и g непр на {t}. Ур-ния x=f(t), y=g(t) задают параметризуемую L, если сущ {[t_i-1,t_i]}: для значений t из каждого сенм этой сист эти Ур-ния опред простую кривую. Пространственная кривая.

Ломанная впис в кривую (разбиение→точки на границах→длина звена). Кривая L спрямляемая, если {[l]} длин впис в L ломанных l=l(ti), отвеч всевозм разбиениям Т [a,b], ограничено. При этом точная верх грань {[l]} – длина L - |L|.

Лемма. |l₀|- длина ломаной, впис в L, отвеч Т₀ сенм [a,b], |l₁|- отвеч Т₁, полученному из Т₀ добавлением одной или неск новых точек. |l₀|<=|l₁|. Доказательство. Добавление одной точки→правило Δ.

1̊. Если L спрямл, то |L| не зависит от параметризации. Доказательство. Мы рассматриваем только параметр, при кот s ([c,d])и t ([a,b])строго монотоныые и непр функции друг от друга (порядок следования точек не измен). Каждому Т [a,b] соотв P [c,d]→ломанные тождественны→их длины равны.

2̊. Если спрямл L разбита конечным числом точек М₀,…,М_n на конечное число L_i, причем точки соотв t₀,…,t_n и они из [a,b], то каждая L_i спрямл и сумма |L_i| = |L|. Доказательство. L разбита т.С (t=y) на 2 кривые, t: [a,y], [y,b], Т₁ и Т₂ – их произв разб, T – их объедин→для них |l₁|+|l₂|=|l|→множ |l₁| и |l₂| огран→L₁ и L₂ спрямл, |L₁|+|L₂|<=|L|. Пусть |L|-(|L₁|+|L₂|)=ɛ>0→сущ Т₀: |L|-|l₀|<ɛ→Т0+точка y=Т→|L|-|l|<ɛ. Т-объедин некот разб→|L|-(|l₁|+|l₂|)<ɛ, |l₁|+|l₂|<=|L₁|+|L₂|→|L|-(|L₁|+|L₂|)<ɛ →?!→|L₁|+|L₂|= |L|.

Теорема. Функции x=f(t), y=g(t) принадл С¹[a,b]. Тогда L, опред ими при t из [a,b], спрямл и . Доказательство. 1. , на каждом частичном сегменте т. Лагранжа для f и g: f(t_i)-f(t_i-1)=f(ξ_i)Δt_i, g(t_i)-g(t_i-1)=g(η_i)Δt_i → ; |f’(t)|<=M, g’(t)<=M → 0<|l|<=M√2 (b-a)→ L спрямл. 2. Рассмотрим конкретную . Докажем что для любого ɛ>0 сущ δ: d<δ вып ||l|-I|<ɛ/2: ||l|-σ|=|Σ…|<=Σ|…|Δt_i<=Σ|g'(η_i)-g’(ξ_i)|Δt_i <=Σ(M_i-m_i)Δt_i=S-s. и g'(t) интегрируемы на [a,b] → при d<δ |σ(t_i,ξ_i)-I|<ɛ/4, S-s<ɛ/4→результат. 3. Докажем что сущ ломанная: ||l|-I|<ɛ/2, ||L|-|l||<ɛ/2: |L|- точная верхн грань→сущ Т*: 0<=|L|-|l*|<ɛ/2→измельчение Т* до Т с d<δ→0<|l*|<=|l|<=|L|→результат. 2,3→||L|-I|<ɛ.

Зам 1. Если L явл графиком y=f(x) принадл С¹[a,b], то L спрямл и .

Зам 2. Если L опред полярным ур-нием r=r(ɵ), ɵ1<=ɵ<=ɵ2 и r(ɵ) принадл С¹[a,b] , то L спрямл и .

10. Понятие квадрируемости (площади) плоской фигуры. Площадь криволинейной трапеции и криволинейного сектора.

ɛ-окр точки А – множ точек плоскости, располож внутри круга радиуса ɛ с центром в А. М – внутр точка {M} если сущ ɛ>0: ɛ-окр М принадл {M}. Внешняя – не принадл. Граничная – ни внешн, ни внутр. Совокупность всех граничных – граница множ. {M} точек плоск ограничено если сущ круг, содерж все точки {M}.

Многоугольная фигура на плоск – множ, сост из конечного числа лежащих на этой плоск огранич многоугольников. μ(Р) – площадь. Св-ва: аддитивность (площадь объедин двух фигур не имеющих общих внутр точек равна сумме их площадей), инвариантность (площади равных фигур равны), монотонность (площадь содержащейся в Р фигуры<=площади Р).

Плоская фигура F, Р-впис многоуг фиг, Q – опис. μ_*=μ_*(F)=sup μ(P), μ*=μ*(F)=inf μ(Q). μ_*(F)<=μ*(F). Плоская F квадрируема если μ= μ(F)=μ_*=μ*, μ-площадь F.

Теорема. Для квадр плоск F необх и дост чтобы для любого ɛ>0 нашлись многоуг опис Q и впис P: μ(Q)-μ(P)<ɛ. Доказательство. Необх: точные грани→для любого ɛ>0 μ_*-ɛ/2<μ(P)<=μ_*, μ*<μ(Q)<=μ*+ɛ/2. Дост: μ(P)<=μ_*<= μ*<=μ(Q).

Вместо многоуг можно квадрир.

Криволин трап – фигура, огранич нрафиком заданной на [a,b] непр и неотриц f, перпендикулярными к Ох прямыми х=a и x=b и отрезком оси Ох между а и b.

Утв. Криволин трап – квадрир фигура F, . Доказательство. интегр→для любго ɛ>0 разб [a,b]: S-s<ɛ, μ(P)=s, μ(Q)=S.

Криволин сектор–плоск фиг, огранич кривой L и двумя лучами, составл с полярной осью углы α и β.

Утв. Кривол сектор – квадр фиг F, . Доказательство. Разбиение: α=ɵ₀<…<ɵ_n=β→для каждого сегмента секторы радиуса min и max знач на этом сегм→опис и впис квадр фиг А и В→S-s=μ(B)-μ(A), f непр→интегр→S-s<ɛ→сектор квадр. Формула вытекает из s<=μ(F)<=S, при d→0 s и S →к этому знач.