1. Отыскание точек локального экстремума. Достаточные условия экстремума.

Возрастающая, убывающая f в точке. Локальный max(min) в точке. Локальный экстремум.

Теорема (дост усл возр или убыв функции). Если функция дифференциуема в точке с и ее производная в этой точке отриц(положит), то эта функция убывает(возр) в этой точке. Доказательство. Все для случая f ’(c)>0. f ’(c)=lim(f(x)-f(c))/(x-c). Предел функции по коши для ɛ=f'(c), раскрыть модуль, дробь больше нуля. Это условие не необходимое.

Теорема (необх усл лок экстр в точке). Если функция дифференцируема в точке с и имеет в этой точке локальный экстремум, то f '(c)=0. Доказательство. Существует конечная f'(c), лок экстр → она не полож и не отриц → она =0.

Точки, в которых производная функции =0 наз. стационарными.

Теорема (1 дост уст экстр). Пусть функция f дифф-ма в некоторой окр точки с и точка с явл стац точкой f. Тогда если в пределах указ окрестности произв f ’>0 (<0) слева от с и <0 (>0) справа, то f имеет в с лок max(min). Если же в пределах указ окрестности точки с производная имеет один и тот же знак слева и справа от с, то экстр нет. Доказательство. 1. Производная >0 слева и <0 справа от с. х – любое значение аргумента из рассматриваемой окрестности с. Функция дифф-ма →т. Лагранжа: f(c)-f(x)=f ’(ξ)(c-x). 2. Производная имеет один и тот же знак. Аналогично.

Теорема (2 дост усл экстр). Пусть f имеет в данной стац точке с конечную вторую произв. Тогда f имеет в точке с лок max, если она <0 и лок min если >0. Доказательство. Вторая произв >0(<0) → она возр(убыв) в точке с. f ’(c)=0 → найдется окрестность с в кот f’ имеет разные знаки слева и справа → предыдущая теорема.

Теорема (3 дост усл экстр). Пусть n>=1 – нечетн число и f имеет производную порядка n в некот окр с и n+1 в с. Тогда если f '(c)=f⁽²⁾(c)=…=f⁽ⁿ⁾(c)=0, f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)<>0 то f имеет в с лок max при f⁽ⁿ⁺¹⁾<0 и лок min при f⁽ⁿ⁺¹⁾>0. Доказательство. n=1 – очевидно. n>=3. f⁽ⁿ⁺¹⁾>0 → f⁽ⁿ⁾ возрастает в с, f⁽ⁿ⁾=0→в окр с отриц слева и положит справа. Разложим f '(х) в окрестности точки с по Тейлору, примерим первое дост усл экстр.

Теорема. Пусть f дифф-ма всюду в некот окр точки с, за искл быть может самой точки с, и непр-на в с. Тогда, если в пределах данной окр f ' >0(<0) слева от с и <0(>0) справа, то f имеет в с лок max(min). Если же f ' имеет один и тот же знак, то экстр нет.

2. Направление выпуклости графика функции и точки перегиба.

Выпуклость графика функции вверх(вниз) на интервале.

Теорема. Если f имеет на (а,b) конечную вторую производную и если она неотриц(неположит) всюду на этом интервале, то график f имеет на нем выпуклость, направл вниз(вверх). Доказательство. Рассмотрим f ''>=0. с – любая точка (a,b).Касательная в M(c,f(c)): Y-f(c)=f ‘(c)(x-c). Разложим f по Тейлору в окрестности с с n=1, выразим оттуда f(c) и подставим в ур-ние касательной→график не ниже касат.

Теорема. Пусть 2 произв f непрерывна и положит(отриц) в с. Тогда существует такая окрестность с, в пределах кот график f имеет выпуклость, направл вниз(вверх). Доказательство. Теорема об устойчивости знака непр f, предыдущая теорема→результат.

Точка M(c,f(c)) графика f наз точкой перегиба этого графика, если существует такая окрестность с по оси абцисс, в пределах которой график f слева и справа от с имеет разное направление выпуклости.

Лемма 1. Пусть f имеет производную всюду в δ-окр с, причем производная непрерывна в с. Тогда если график f имеет на интервале (с,с+δ) выпуклость, направленную вниз(вверх), то всюду в пределах (с,с+δ) график лежит не ниже(не выше) касат к нему в точке М(c,f(c)). Доказательство. Рассмотрим последовательность {x_n} из (с,с+δ), сходящуюся к с, через каждую М проведем касательную Y_n. Выпуклость вниз→в любой точке последовательности график не ниже касат. Непрерывность f по Гейне существует lim(f(x)-Y_n)=f(x)-f(c)-f ‘(c)(x-c), предел >0→f(x)>Y. Y-текущая ордината касат через с.

Лемма 2. Пусть f имеет производную в некот окр с. Тогда, если график f имеет перегиб в М(c,f(c)), то в пределах достаточно малой δ-окр с этот график слева и справа от с лежит по разные стороны от касательной через М. Доказательство. Выбрать δ такое, чтобы слева и справа от с в δ-окр график имел опред выпуклость, лемма 1→результат.

Теорема (необход усл перегиба). Если f имеет в с вторую производную и ее график имеет перегиб в M(c,f(c)), то f⁽²⁾(c)=0. Доказательство. Y-текущая ордината касат через М. F(x)=f(x)-Y. F имеет в с 2 произв→1 произв в окр с→лемма 2→график f лежит по разные стороны от касат в М→F разные знаки слева и справа от с→F не имеет экстр в с. Пусть f⁽²⁾(c)<>0→F '(c)=0, F⁽²⁾(c)<>0→у F в с лок экстр→?!

Теорема (1 дост усл перегиба). Пусть f имеет вторую произв в некот окр с и f⁽²⁾(c)=0.Тогда, если в пределах этой окр вторая произв имеет разные знаки слева и справа от с, то график f имеет перегиб в М. Доказательство. В М существует касательная, разные знаки второй производн слева и справа→разные направл выпуклости. 1. Можно сказать, что в с f только один раз дифф-ма. 2. В с f не дифф-ма, но непрерывна в с и имеет касат в М.

Теорема (2 дост усл перегиба). Если f имеет в с конечную третью производную и f⁽²⁾(c)=0, f⁽³⁾(c)<>0, то график f имеет в М перегиб. Доказательство. f⁽²⁾ возр или убыв, f⁽²⁾(c)=0→у f⁽²⁾ разные знаки слева и справа, 1 дост усл→результат.

Теорема(3 дост усл перегиба). Пусть n>=2 четное число и f имеет производную n порядка в некот окр с и n+1 в с. Тогда если f⁽²⁾(c)=…=f⁽ⁿ⁾(c)=0, f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)<>0 то график f имеетперегиб в М. Доказательство. n=2 – очевидно. n>=4. f⁽ⁿ⁺¹⁾<>0 → f⁽ⁿ⁾ возрастает в с, f⁽ⁿ⁾=0→в окр с разные знаки слева и справа. Разложим f⁽²⁾(х) в окрестности точки с по Тейлору, примерим первое дост усл пергиба.