![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Вопрос №1. Декартова прямоугольная и полярная с-ма коорд.
- •Гипербола.
- •Вопрос №9.Системы линейных уравнений.
- •3 Вектора , и наз компланарными, если они лежат в одной плоскости. Сумма 2х векторов и -вектор , начало кот совпадает с началом вектора , а конец – с концом .
- •Предел ф-и.
- •Бесконечно большие и бесконечно малые ф-и.
- •Вопрос №20.Производная и дифференциал ф-ции. Правило дифференцирования.
- •Теорема Лагранжа.
- •Признак и .
- •Асимптоты.
- •Неопределенный интеграл и его св-ва.
- •Предел.
- •Частные производные 1-го порядка
- •Экстремум ф-и двух переменных.
- •Вопрос №33.Понятие двойного и тройного интеграла.
- •Однородные ду
Вопрос №33.Понятие двойного и тройного интеграла.
Двойной интеграл и его св-ва.
Двойным
интегралом от ф-и
по области
наз предел ее интегральной суммы при
,
т.е.
Ф-я
–наз подинтегральной ф-ей.
–область интегрирования,
также
обозначается
.
Если предел сущ-ет, то ф-я
наз интегрируемой в области
.
Непрерывн. ф-ии явл. интегрируемыми.
Геом. смысл . от ф-и по области =объему цилиндра с основанием , ограниченного сверху поверхностью .
Св-ва:
если
ф-и
и
интегрируемы
в обл.
,
то интегрируемы в этой обл. их сумма и
разность. Причем
постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
если
интегрируема в обл.
и обл.
разбита на 2 непересек области
и
,
тогда двойной интеграл в области
.
если
ф-и
и
интегрируемы в обл.
,
причем
,
тогда
если
ф-я
интегрируема в обл.
,
то ф-я
также
интегрируема в этой обл.. Причем
если
ф-я
интегрируема в обл.
,
причем для
из этой обл. выполн нер-во
,
тогда
,
где
–
площадь обл
.
Вычисл двойного интеграла в прямоуг. Декартовых координатах.
При
вычислении внутреннего интеграла
считается постоянным. Правую часть ф-лы
наз-ют повторным
интегралом.
=
С
т-тной
областью в данном направлении (направление
данной оси) наз такая обл., для к-рой
любая прямая параллельная этой оси и
имеющая с дано обл. общие точки, пересекает
границу не более 2 раз. В направлении
оси Оу-область ст-тная, в направлении
оси Ох-обл. ст-тной не явл.
Если обл. интегрирования не удовлетв. условиям ст-тной обл., каждая из к-рых была бы ст-тна в направлении одной из осей, необходимо разбить обл. интегрирования и вычислить двойные интегралы по каждой части отдельно.
Тройной интеграл.
Рассм.
ограниченную замкнутую пространственную
обл.
и определенную в ней ф-ю
.
Аналогично строится интегральная сумма
по данному объему и определяется тройной
интеграл от ф-и
по пространственной обл.
Св-ва тройного интеграла (обладает св-вами двойного интеграла):
предположим, что обл. явл. ст-тной в направлении оси , т.е. удовлетворяет след. условиям:
(условие ст-тной обл.)
проекция обл. на плоскость представляет собой ст-тную обл. по оси Ох или Оу.
Если
ст-тная обл.
ограничена сверху поверхностью
,
снизу -
,
а проекция обл.
на плоскость
определяется нер-вом
т.е.
обл. ст-тная, тогда
Замечание.
Если проекция обл.
на плоскость
представляет собой ст-тную обл. по оси
Ох и определяется нер-вом .
,
тогда
Замечание. Если обл. явл. ст-тной в напр-и каждой оси и ее проекции на коорд. пл-сти явл. ст-тными в направлении каждой соотв-щей оси, то пределы интегрирования в тройном интеграле можно расставить 6 различными способами.
Замечание.
Если обл.
представляет собой параллелепипед,
ограниченный
,
тогда
.
Т.к. параллелепипед явл. ст-тной обл. в
направлении любой из осей и его проекции
также явл. ст-тными в направлении каждой
из соотв. осей, то в данном интеграле
пределы интегрирования можно расставить
6 способами.
Вопрос №34. Числовые и функциональные ряды.
Числовые ряды.
Числовой
ряд-символ,
обозначаемый
Числа
наз-ют
членами этого ряда.
Суммы
конечного числа членов этого ряда
наз-ют частичными суммами или отрезками
данного ряда.
Рассм.
послед-сть
.
Если сущ-ет
,
то ряд наз-ют сходящимся,
число
–суммой
этого ряда. Если послед-сть
не имеет предела, то ряд расходящийся.
Св-ва числовых рядов:
если
из членов ряда отбросить
первых членов, то получим ряд
,
к-рый наз
–ным
остатком. Остаток данного ряда сходится
и расходится одновременно с исходным
рядом. Это означает, что при исследовании
сходимости ряда можно отбрасывать
конечное число первых членов.
(необходимый
признак сходимости). Общий член сходящегося
ряда ,
т.е.
,
что не явл. достаточным признаком.
если
ряд
сходится
и его сумма =
,
то ряд
также сходится, и его сумма =
если
2 числ ряда
и
сходятся,
тогда ряд
Положительные ряды.
Полож. рядом наз ряд, члены к-рого неотриц.
Признак сравнения.
Пусть
даны 2 «+» ряда
(1) и
(2) начиная с нек-рого номера
вып-тся условие
,
тогда из сходимости ряда (2) следует
сходимость ряда (1), а из расходимости
ряда (1) следует расходимость ряда (2).
Признак Даламбера.
Если
члены «+» -ного ряда
таковы, что сущ-ет предел
,
тогда если
-ряд сходится;
- расходится;
-нужны доп. исследования.
Интегральный признак Коши.
Пусть
члены «+» ряда таковы, что
,
где
при
непрерывн., «+» и убывает, тогда исх. ряд
и несобств. интеграл
сходятся и расходятся одновременно.
Знакочередующиеся ряды.
Знакочеред. рядом наз ряд вида , где . Этот ряд можно записать в виде
Признак Лейбница.
Если члены знакочеред. ряда удовлетворяют условиям:
1,
2,
то знакочеред. ряд сходится.
Абсолютная и условная сходимость.
Ряд
(1) наз абсолютно
сход,
если сходится ряд (2). Если же ряд (1) сх,
а ряд (2) расх., то такие ряды наз условно
сходящимися.
и
Теорема:если ряд сходится абсолютно, то он сходится.
Если ряд с произвольными членами расходится, то члены данного ряда можно расставить таким образом, что ряд будет сходиться к любому наперед заданному числу.
Функциональные ряды.
Ряды, членами к-рых явл. функции наз функциональным рядом.
Если
вместо переменной положить
,
где
–из
обл. определения ф-и
,
то получим числовой ряд
.
Если данный ряд сходится, то наз. точкой
сходимости, если числ. ряд расходится.
то
–точка
расходимости.
Совокупность всех точек сходимости функ. ряда наз обл его сходимости.
Степенные
ряды.-функциональный
ряд вида
,
где
–действит.
числа, называемые коэф-тами степенного
ряда.
1.
если степенной ряд сходится только в
т.
,
то его будем относить к рядам 1-го класса.
2. ряд (1) сходящийся в любой точке, будем относить к рядам 2-го рода.
3. ряд, не к 1-му и 2-му классу относят к рядам 3-го класса.
Теорема
Авеля:
если степенной ряд (1) сходится при
,
то он абсолютно сходится для любого
.
Если же степ. ряд (1) расходится при
,
то он расходится и при всех
.
След-но
для каждого степенного ряда(1) третьего
класса сущ-ет число
,
называемое радиусом сходимости, для
к-рого вып-тся условия: при
ряд
сходится абсолютно , при
–расходится. Промежуток
наз интервалом сходимости степ. ряда.
Для степ. ряда 2-го класса инт. сходимости
(-).
Областью сходимости степ. ряда явл.
интервал, к-рому в отдельном случае
добавляются один или оба конца этого
интервала. Для степенного ряда 1-го
класса полагают
=0,
2-го класса
=.
Теорема.
Пусть для степенного ряда сущ-ет и оличен
от 0
,
тогда
.
Вопрос №35. Комплексные числа.
О.
Комплексное число-выраж-е вида
,
где
и
–действит. числа, а символ
удовлетворяет условию
.
Положим, что квадрат этого выраж-я равен -1, число наз. действит. частью, * мнимой частью, -мнимая ед. комплексного числа.
Множ-во
всех комплексных чисел обознач.
.
*
наз. чисто мнимым. Два комплексных числа
наз. равными, если равны соотв. их действ.
и мнимые части.
Ч
исла
вида
,
–комплексно сопряженные и обозначаются
соотв-нно
и
.
Очевидно, что каждому комплексному
числу
соотв-ет единствен. т. на плоскости с
коорд.
Плоскость
по
–комплексная.
Оси Ох и Оу соотв-но действительная и
мнимая.
,
Действия над комплексными числами.
Пусть
даны 2 комплексных числа
,
Сумма
двух компл. чисел –комплексное число
.
Разность:
Произведение:
Св-ва:
(коммутативность)
,
,
сущ-ет
нейьральный элемент
,
такой, что
сущ-ет
единичный элемент
,
такой, что
,
Для
любого
сущ-ет такой элемент
,
что
з-н
ассоциативности:
-ной
степенью компл. числа
наз
комплексное число
Деление
компл. чисел:
Пр.
Лемма
Тригонометрическая
форма комплексного числа.
Пусть
и
даны прямоуг. и номерная с-ма координат,
тогда
.
Тогда
–тригонометрич.
форма.
Переход
от алгебраической формы к тригонометрич.
осущ-тся по ф-ле:
,
Теорема.
Пусть комплексные числа
и
заданы
тригонометрич. формой
,
тогда
Следствие:
Пр.
Извлечение корня из комплексного числа
Корнем
–ной
степени ,
из компл. числа
наз комплексное число
,
для к-рого
.
обознач.
.
Алгебраическое
ур-ние
–ной
степени над полем комплексных чисел
имеет ровно
корней – ф-ла Муавра. Корень
–ной
степени из комплексного числа
,
записанного в тригонометрической форме
вычисляется по ф-ле
Вопрос №36.Дифференциальные ур-ния.
ДУ наз соотношение, связывающее независимую переменную , искомую ф. и ее производную. Если искомая ф. есть ф-я одной независимой переменной, то ДУ наз обыкновенным. Порядок старшей производной, входящей в ДУ наз порядком данного ур-ния.
Общий
вид ДУ
–ного
порядка
.
(1)
Ф-ия y=f(x), кот-я при подстановке в ур-е (1) обращает этоур-е в тождество, наз-ся решением этого ур-я.
ДУ 1-го порядка имеет вид: F(x,y,y’)=0 (2) или y’=f(x,y)(3) в случае, если y’ можно выразить относительно x и y
Реш-е ур-я (3) наз-ся общим реш-ем этого ур-я.
Реш-е может получаться в неявной форме Ф(x,y,c)=0 – наз общим интегралом.
Реш-е, кот получается из общего при некотором фиксированном значении С наз частным решением. Условия, что при x=x0 ф-ия y=y0 наз начальным условием, кот-е позволяет из общего реш-я выделить частное.
Ур-я с разделяющимися переменными.
Ур-е
вида
наз ур-ем с разделяющимися переменными.
Это ур-е можно записать в виде:
, домножим на
:
Вычислим: