![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Вопрос №1. Декартова прямоугольная и полярная с-ма коорд.
- •Гипербола.
- •Вопрос №9.Системы линейных уравнений.
- •3 Вектора , и наз компланарными, если они лежат в одной плоскости. Сумма 2х векторов и -вектор , начало кот совпадает с началом вектора , а конец – с концом .
- •Предел ф-и.
- •Бесконечно большие и бесконечно малые ф-и.
- •Вопрос №20.Производная и дифференциал ф-ции. Правило дифференцирования.
- •Теорема Лагранжа.
- •Признак и .
- •Асимптоты.
- •Неопределенный интеграл и его св-ва.
- •Предел.
- •Частные производные 1-го порядка
- •Экстремум ф-и двух переменных.
- •Вопрос №33.Понятие двойного и тройного интеграла.
- •Однородные ду
Асимптоты.
Если график ф-и сколь угодно близко приближается к прямой, то такую прямую наз-ют асимптотой.
О.
Прямая
наз вертикальной асимптотой графика
ф-и
,
если хотя бы одно из предельных значений
стремится к .
О.Предположим,
что
определена при сколь угодно больших по
модулю значениях аргумента (будем рассм.
«+» значения). Прямая
наз наклонной асимптотой графика ф-и
,
если эта ф-я представлена в виде
,
где
–бесконечно
малая, то
0,
при
.
Т.
(необходимое и достаточное условие
существования наклонной асимптоты).
График ф-и
имеет при
наклонную асимптоту
,
если сущ-ют 2 конечных предела.
и
Исследование ф-и и построение графика:
Найти область определения (Д)
обл. значений
четность и периодичность
точки пересечения с осями координат
изучить поведение ф-и при стремлении аргумента к концам обл. определения.
точки экстремума и промежутки и
промежутки выпуклости ф-ий, точки перегиба
асимптоты графика
построить график ф-и.
О.
Ф-я
наз четной, если: 1)
;
2)
О.
Ф-я
наз периодической, если сущ-ет такое
Т0,
что 1)
; 2)
Вопрос №30.Неопределенный интеграл, его основные св-ва и м-ды интегрирования.
Понятие о первообразной функции.
определенная
на интервале АВ, наз первообразной
данной функции f(x)
в этом промежутке, если для любого
Є(a,b)
F(x)
=sin x, F(x) =ln x, f(x) =cos x; f(x) =
.
Теорема:
если f(x)
- первообр., то множ-во
также
явл. первообр.
Неопределенный интеграл и его св-ва.
О.Если ф-я F(x)-первообразная ф-и f(x), то множ-во всех первообр. наз-ют неопределенным интегралом от f(x) и обозначают
f(x)-
подинтегр ф-я, f(x)
dx
– подинтегр выражение; операция
нахождения неопр. интеграла наз
интегрированием.
Св-ва:
Производная неопр. интеграла = подинтегральной ф-и. Дифференциал от неопр. интеграла = подинтегральному выражению.
Неопр. интегр от диф-ла некот ф-и = этой ф-и с точностью до постоянной.
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
,
Если ф-и f(x) и g(x) имеют первообр., то ф-я f(x)+ g(x) также имеет первообр.Причём
Таблица неопр. интегралов:
;
Понятие об основных методах интегрирования.
М-д непосредственного интегрирования.
Пример:
М-д замены переменной.
Теорема:
если F(x)-первообр.
f(x),
-дифференц.
ф-я. Тогда
также имеет первообр. Причем
Док-во:
По правилам диф. сложной ф-и
дает
,
т.е.
-одна
из первообр. для
.
След-но
.
Поскольку
совпадает с
,
тогда
Пример:
М-д интегрирования по частям основан на след. форме:
Интегрирование простейших рациональных дробей.
Интегрирование тригонометрических ф-ий.
Вычисл
интеграла вида
,
,
,
сводится
к вычислению интегралов от рац. ф-ий,
роль переменной играет t.
если R(sin
x
cos
x)
явл. нечетной относительно sin
x,
то вводят замену cos
x=
t.
Если R(sin
x
cos
x)
явл. нечетной относ-но cos
x,
то вводят замену sin
x=
t.
Если ф-я R
(sin
x
cos
x)явл.
нечетной относ-но sin
x
и cos
x,
то вводят замену tg
x=t.
Интегрирование иррац. ф-и
Интегралы типа
вычисляются
путем полного квадрата под радикалом
и дальнейшей заменой
Тригонометрическая подстановка
Интегралы вида
с помощью замен сводятся к интегралам от рац. ф-ий.
Вопрос №31. Определенные интегралы.
Опред. интеграл и его приложения.
О.
Определенным интегралом от ф-и
на
наз
конечный предел её интегральной суммы,
когда число элемент. отрезков неограниченно
возрастает, а длина наиб. из них стремится
к нулю. Обозначается:
Число a наз нижним пределом интегрирования, b- верхним пределом интегрирования, f(x)- подинтегр ф-ей, х-переменной интегрирования.
По определению
(1)
след-но велич опред интегр не зависит от переменной интегрир, т.е.
Ф-я, для к-рой существует предел (1) наз интегрированием на .
Геом. смысл определенного интеграла состоит в том, что =S криволин. трапеции, ограниченной сверху графиком ф-и (f(x)≥0), снизу осью Ох, слева и справа- прямыми х=а и х=в.
Св-ва опред. интеграла:
при
перестановке пределов интегрирования,
знак определенного интеграла меняется
на противоположный
если
и
интегрируемы
на
ф-и, тогда
±
также
интегрируемы. Причем
св-во
аддитивности. Пусть
разбит на
элементарных отрезков след. образом
,
тогда
постоянный
множитель можно выносить за знак
определенного интеграла.
если
интегрируема
на
(a<b),
причем f(x)≥0,
тогда
пусть
ф-и f(x)
и g(x)
интегрируемы на
(a<b)
и на всем отрезке f(x)
≤ g(x).
Тогда
пусть
ф-я f(x)
интегрируема на
(a<b),
тогда
также интегрируема на
,
причем
Теорема.
(об
оценке опред. интеграла).
Если ф-я
интегрируема
на
(a<b)
и для всех
вып-тся нерав-во
,
тогда
Теорема.
(о среднем значении) Если ф-я
непрерывна на
,
то на этом отрезке существует точка с,
такая что
Опред. интеграл с переменным верхним пределом(ОИПВП).
Рассм.
ф-ю
,
интегрируемую на
.
Пусть
,
тогда
интегрируема на любом отрезке
.Предпол,
что х меняется на этом отрезке, тогда
определена ф-я Ф(х)=
.
Данную ф-ю наз ОИПВП. ОИПВП явл. непрерывной
на
ф-ейесли
явл. непрерывной, то производная с ОИПВП=
значению подинтегральной ф-и для данного
предела интегрирования, т.е.
ОИПВП явл. одной из первообр. для непр. подинтегральной ф-и.
Теор.(ф-ла Ньютона-Лейбница). Пусть ф-я непрер на , тогда если ф-я F(x) явл. некот её первообр. на , то справедлива след. ф-ла
Основные методы интегрирования:
Т.
(о
замене переменной в определенном
интеграле).
Пусть
-непрерывна
на
ф-я, тогда если: 1)ф.
дифференцируема на
и
–непрерывна на
.
2)множ-вом значений ф-и
явл.
. 3)
,
. тогда справедлива ф-ла:
По ф-ле Ньютона-Лейбница, где - нек-рая первообразная на .
Т.
(об
интегрировании по частям)
Если ф-и
и
непрерывны вместе со своими производными
и
на
,
то справедлива след. ф-ла:
Приложение определенного интеграла.
Площадь криволинейной трапеции.
Опред.
интеграл от неотриц. непр-ной на
ф-и
,
ограниченной сверху графиком ф-и
,
снизу осью Ох, слева и справа прямыми
Длина дуги кривой.
Пусть плоская кривая задана уравнением , где -непрерывная на отрезке ф-я. Если производная также непрерывна на , то тогда
Площадь поверхности вращения.
Пусть
кривая АВ задана ур-нием
,
и
пусть ф-я неотриц. и непрерывна вместе
со своей производной на
, тогда поверхность вращения, образованная
вращением кривой АВ вокруг оси Ох имеет
площадь, к-рая выражается ф-лой:
Объём тела вращения.
Рассм.
нек-рое тело и вычтем его объем. Допустим,
что известны площади сечений этого тела
плоскостями перпендикулярными оси Ох.
С изменением х, меняются площади сечений,
т.е. площади сечений явл. нек-рой ф-ей от
х. Тогда
,
где
непрерывна на
.
В частности если тело образовано
вращением части кривой
,
,
тогда площадь сеч.:
,
тогда
Вопрос №32. Несобственные интегралы.
При введении понятия опред. интеграла предполагалось, что выполняются след. условия:
Пределы a и b явл. конечными
Подинтегральная ф-я явл. ограниченной на , в этом случае опред. интеграл наз-ют собственным. Если хотя бы одно из двух условий не вып-тся, то интеграл называют несобственным.
Интегралы с бесконечными пределами.
Пусть
ф-я
непр. при любых
.
Рассм. опред. интеграл с переменным
верхним пределом
.
Предположим, что при
ф-я
имеет конечный предел, этот предел
наз-ют сходящимся несобственным
интегралом от ф-и
по промежутку
и обозначают
Если
же этот предел не существует или =
бесконечности, то несобственный интеграл
называется расходящимся.
Геометрически несобственный интеграл
выражает площадь бесконечной криволинейной
трапеции, ограниченной сверху графиком
ф-и
,
слева- прямой
снизу - осью Ох. Аналогично определяется
несобственный интеграл с бесконечным
нижним пределом. Если несобственный
интеграл с обоими бесконечными пределами,
то будем полагать
,
где с – любая точка
.
Т.1.
Если при
выполнены
след. нер-ва:
и
сходятся,
то сходится и
причём
.
Если же
-расходится,
то расходится и
.
Т.2.
Если в промежутке от
ф-я
меняет
знак и
сходится,
тогда сходится
.
Интегралы от неограниченных функций.
Если
ф-я
не ограничена в окрестности точки
и непрерывна при
,
cxb,
то несобственный интеграл
,
где t
и k0
Несобственный
интеграл от неограниченной ф-и наз=тся
сходящимся, если существует конечный
предел соотв-щего опред. интеграла. В
противном случае собственный интеграл
наз расходящимся. Для интеграла от
неограниченных ф-ий справедливы теоремы,
аналогичные теоремам 1,2. (
1-сходится,
1-расходится).
Вопрос №29. Функции нескольких переменных.
Рассм.
арифметическое
-мерное пр-во
Пусть
подмнож-во
множ-ва
.
–нек-рое множ-во элементов
,
если каждому элементу
ставится в соотв-е единственный элемент
,
то говорят, что на множ-ве
задана ф-я
О.
Пусть имеется
переменных величин и каждому значению
из
некоторого множ-ва
соотв-ет одно, вполне определенное
значение переменной
.
Тогда говорят, что задана ф-я нескольких
переменных
.
Ф-ла
задает объем цилиндра, как ф-ю двух
переменных
.
переменные величины
называют независимыми переменными или
аргументами.
–зависимая переменная. Символ
обозначает з-н соотв-я, множ-во
–
область определения.
Рассм.
нек-рые примеры ф-и нескольких переменных.
Ф-я 1)
,
-называется
линейной; 2)
-квадратичная
ф-я.