- •Вопрос №1. Декартова прямоугольная и полярная с-ма коорд.
- •Гипербола.
- •Вопрос №9.Системы линейных уравнений.
- •3 Вектора , и наз компланарными, если они лежат в одной плоскости. Сумма 2х векторов и -вектор , начало кот совпадает с началом вектора , а конец – с концом .
- •Предел ф-и.
- •Бесконечно большие и бесконечно малые ф-и.
- •Вопрос №20.Производная и дифференциал ф-ции. Правило дифференцирования.
- •Теорема Лагранжа.
- •Признак и .
- •Асимптоты.
- •Неопределенный интеграл и его св-ва.
- •Предел.
- •Частные производные 1-го порядка
- •Экстремум ф-и двух переменных.
- •Вопрос №33.Понятие двойного и тройного интеграла.
- •Однородные ду
Гипербола.
Гиперболой наз множ-во точек плоскости, для каждой из к-рых модуль разности расст до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расст. между фокусами.
. Каноническое ур-ние гиперболы: (2) Прямоугольник называется основным прямоугольником (рис.). Центр-начало координат. Прямые и наз асимптотами гиперболы. Их ур-ние и .Гипербола имеет 2 ветви. Центр симметрии наз центром гиперболы; оси симметрии наз осями гиперболы. Ось, к—рую пересек гипербола наз действительной осью, а ось непересек наз мнимой осью. Величины и наз полуосями. Если = , то гипербола равносторонняя, её ур . Ур (3)определяет гиперболу с действительной осью Оу. Ур (2) и (3) в одной и той же с-ме координат наз сопряженными. Эксцентриситет гиперболы-это отношение фокусного расст к расст между вершинами, т.е. точками пересечения с осями координат. Для ур (2) , т.к. , то .
Парабола.
П араболой наз множ-во точек плоскости, для каждой из к-рых расст от данной точки, наз фокусом равно расст до данной прямой, наз директрисой и не проходящей через фокус (рис.) - каноническое ур параболы. -наз параметом параболы, точку О-вершиной параболы, ось симметрии-осью параболы.
Вопрос №7. Матрицы и действия над ними.
Таблица чисел вида , сост из строк и столбцов наз матрицей размерности .
Числа наз её элементами, если , то матрицу наз-ют прямоугольной, если = , то квадратной. Если =1, а 1, то матрица примет вид и наз матрицей-строкой. Если же 1, а =1, то матрица наз матрицей-столбцом. Число строк в квадратной матрице наз ее порядком. Две матрицы наз равными если они имеют одинак. размерность и соответствующие элементы равны.
Сложение и вычитание матриц.
Суммой двух матриц А и В одинакового размера наз матрица С размерности , элементы кот равны сумме соотв эл-в матриц А и В.
Матрица 0 размерности , все элементы к-рой=0 наз нулевой матрицей.
Разностью двух матриц А и В размерности наз матрица С размерности такая, что А=В+С. Из определения следует, что элементы матрицы С равны разности соотв. элементов матриц А и В.
Св-ва сложения:
сложение матриц коммутативно, т.е. А+В=В+А
сложение матриц ассоциативно, т.е. (А+В)+С=А+(В+С)
А+0=0+А=А
Умножение матриц на число.
Произведение матрицы А на число наз матрицей 2А, эл-ты кот равны произведению числа на соотв. элемент матрицы А.
Умножение матриц.
Произведение матриц размерности и матрицы В размерности наз матрица С размерности , элементы кот вычисл как сумма произведений соотв-щих элементов -строки матрицы А на -столбца матрицы В.
Квадратная матрица порядка наз единичной. Обозначается это матрица с единицами на главной диагонали.
Св-ва умножения:
умножение не коммутативно, т.е. А*ВВ*А
умножение матриц ассоциативно, т.е. (А*В)*С=А*(В*С), если такие произведения существуют.
если А матрицы размерности , В размерности , то
Транспонирование матрицы.
Если в матрице А размерности все стороки заменить соотв-щими столбцами, то получим матрицу размерности , к-рую наз транспонированной матрицей А.
Св-ва транспонирования:
Элементарные преобразования строк матрицы:
умножение строк матрицы на ненулевое действит число; прибавление к одной строке матрицы другой, умноженной на некот число.
Лемма: с помощью элементарных преобразований можно поменять местами две любые строки матрицы.
Ступенчатая матрица-матрица, обладающая след. св-ми:
если тая строка нулевая то также нулевая.
если первые ненулевые элементы той строки и находятся соотв-но в столбцах с номерами и . Тогда
Теорема. Любую матрицу можно привести к ступенчатому виду с пом элементарных преобразований строк матрицы.
Ранг матрицы- число ненулевых строк в ступенчатом виде этой матрицы.
Вопрос №19.Понятие непрерывности ф-и.
Ф. , определенная на наз непрерывной в точке если
Т. Ф. непрерывна в точке только тогда, когда
Т. Если ф. и непрерывны в точке , то непрерывна в этой точке их сумма, разность, произведение, а также частное при усл.
О. Ф. наз непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
1-ая теорема Бальцама - Коши: Пусть ф. непрерывна на отрезке и на концах отрезка имеет значение разных знаков, тогда сущ-ет точка такая, что
Т. Пусть ф. непрерывна на отрезке причем . Пусть –число, заключенное между А и В, тогда сущ-ет точка такая, что
1-ая теорема Вейерштрасса: Если ф. определена и непрерывна на , то она ограничена на этом отрезке.
2-ая теорема Вейерштрасса: Если непрерывна на , то она достигает на этом отрезке своего наиб. и наим. значения.
Вопрос №8.Определители, их свойства.
О пределителем 2-го порядка наз число, вычисляемое по ф-ле
Определителем -го порядка, соотв-щим квадратной матрице -го порядка, наз число, равное сумме произведений элементов какой-либо строки(столбца) на их алгебраическое дополнение.
Минором наз определитель, полученный из данного путем вычеркивания той строки и –того столбца. Алгебраическим даполнением наз-ют число равное .
Т. Определитель -го порядка равен произведению элементов какой-либо строки(столбца) на соотв-щее алгебраическое дополнение.
Св-ва определителя:
Определитель треуг матрицы равен произвед элементов главной диаг
Опред. матрицы с нулевой строкой или нулевым столбцом равен нулю
При транспонировании матрицы, определитель не меняется.
Если матрица А получается из матрицы В умножением каждого элемента некот строки(столбца) на число , то определитель равен
Если матрица В получается из матрицы А перестановкой строк(столбцов), то определитель меняет знак.
Определитель матрицы с пропорциональными строками(столбцами) равен 0.
Определитель матрицы не меняется если к одной из строк прибавить другую, умноженную на некот действит число.
Определитель произведения равен произведению определителей.
, где А и В- квадратные матрицы одног7о порядка.
Обратная матрица.
Квадратная матрица А порядка наз обратимой, если сущ-ет такая матрица В, что . В этом случае В-обратная для матрицы А и обозначают А-1.
Т. Справедливы след. утверждения:
если матрица обратима, то сущ-ет только одна ей обратная матрица.
определитель обратимой матрицы отличен от 0.
если А и В- обратимые матрицы порядка , то АВ- также обратима. Причем обратная для произведения равна В-1А-1. (АВ)-1= В-1А-1
Т. Квадратная матрица А обратима тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от 0. Если отличен от 0, то А-1=