![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Вопрос №1. Декартова прямоугольная и полярная с-ма коорд.
- •Гипербола.
- •Вопрос №9.Системы линейных уравнений.
- •3 Вектора , и наз компланарными, если они лежат в одной плоскости. Сумма 2х векторов и -вектор , начало кот совпадает с началом вектора , а конец – с концом .
- •Предел ф-и.
- •Бесконечно большие и бесконечно малые ф-и.
- •Вопрос №20.Производная и дифференциал ф-ции. Правило дифференцирования.
- •Теорема Лагранжа.
- •Признак и .
- •Асимптоты.
- •Неопределенный интеграл и его св-ва.
- •Предел.
- •Частные производные 1-го порядка
- •Экстремум ф-и двух переменных.
- •Вопрос №33.Понятие двойного и тройного интеграла.
- •Однородные ду
Предел.
Множ-во
точек
, координаты к-рых удовлетворяют нер-ву
наз-ся
-окрестностью точки
.
О.
Пусть нек-рая ф-я
определена в нек-рой окрестности точки
кроме самой точки
.
Число А наз пределом ф-и
при
,
или
.
Если для любого
существует
,
такое что для всех
и
из
-окрестности
точки
вып-тся нер-во
<.
,
<
Предел
ф-и двух переменных обладает св-вами,
аналогичными св-вам предела ф-и одной
переменной. О.Ф-я
наз непрерывной
в точке если:
она
определена в
имеет конечный предел при ,
этот
предел = значению ф-и, т.е.
.
Частные производные 1-го порядка
Пусть
задана ф-я
,
т.к.
и
– независимые переменные, то одна из
них может меняться, а вторая оставаться
неизменным. Придадим переменной
приращение
,
а
оставим неизменной, тогда
получит приращение, к-рое наз-ют частным
приращением
и обозначают
.
Аналогично определетяется
частное
приращение
по
.
.
Полное
приращение
наз-ют
.
Если существует предел
,
то он наз частной производной ф-и
в
точке
по
переменной
и обозначается
Частное
производное по
в точке
обозначается
.
Аналогично определяется частная
производная по
.
.
Т.о. частная производная ф-и нескольких
переменных определяется как производная
ф-я одной переменной, считая остальные
постоянными. Поэтому частные производные
находят по ф-лам и правилам вычисления
ф-и одной переменной.
Частные производные высших порядков.
Частные
производные
наз-ют частными производными первого
порядка. Эти ф-и могут иметь частные
производные, к-рые наз-ют частными
производными 2-го порядка.
;
;
;
Т.
(теорема Шварца) Если частные производные
высшего порядка непрерывны, то смешанные
производные одного порядка, отличающиеся
порядком дифференцирования равны между
собой. В частности для ф-и двух переменных
Дифференцируемость. Полный дифференциал.
Пусть
ф-я
определена
в нек-рой окрестности точки М с корд.
.Напомним,
что
.
О.
Ф-я
наз дифференцируемой в точке М
,
если ее полное приращение в этой точке
можно представить в виде
,
где
и
при
и
.
Сумма
первых двух слагаемых наз главной частью
приращения ф-и, к-рую наз-ют полным
дифференциалом и обозначают
.
Для независимых переменных
и
полагают
тогда
.
Т. Необходимое условие дифференцируемости. Если ф-я дифференцируема в точке М , то она в этой точке непрерывна и имеет частные производные.
.
Т.о. полный дифференциал ф-и
вычисляется по ф-ле
Т.
Достаточное условие дифференцируемости.
Если ф-я
имеет частные производные в точке М
,
то она дифференцируема в этой точке и
ее полный дифференциал вычисляется по
ф-ле
.
Из определения дифференциала следует,
что при достаточно малом
и
имеет место приближенное рав-во
Так
,
то имеем ф-лу
.
Пр.
Вычислить
.
,
тогда
.
,
;
Тогда 1,023,011+3*0,02+0=1,06
Экстремум ф-и двух переменных.
Пусть
ф-я
определена в нек-рой области
и пусть
.
Т.
наз
точкой максимума ф-и
,
если существует такая –
окрестность т.
,
что для любой точки из этой окрестности
вып-тся нер-во
.
Аналогично определяется т. минимума.
Для всех точек из –
окрестности
значение ф-и в точке максимума (минимума)
наз максимальным (минимальным) значением
или
.
называют
экстремумом.
В силу определения т. экстремума лежит внутри области определения ф-и. имеют локальный хар-р. В области определения ф-я может иметь неск-ко экстремумов.
Т.
Необходимое условие экстремума. Если
в точке
дифференцируемая ф-я
имеет экстремум, то в этой точке частные
производные =0.
О. Точка, в к-рой частные производные =0 наз стационарной. Стационарные точки, а также точки, в к-рых хотя бы одна из частных производных не существует наз-ют критическими. Для нахождения точек экстремума необходимо каждую критическую точку в области определения подвергнуть доп. исследованию.
Т. Достаточное условие экстремума. Пусть стационарные точки и нек-рой ее окрестности ф-я имеет непрерывные частные производные до 2-го порядка включительно. Вычислим в точке значение
Составим
определитель
. Тогда 1)если 0,
то в т.
–экстремум . Причем, если А0
– максимум, если А0–минимум.
2)Если 0,
то ф-я в т.
экстремума не имеет. 3)В случае, когда
=0,
экстремум в ф-и может быть, а может и не
быть.