Гипербола.

Гиперболой наз множ-во точек плоскости, для каждой из к-рых модуль разности расст до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расст. между фокусами.

 . Каноническое ур-ние гиперболы: (2) Прямоугольник называется основным прямоугольником (рис.). Центр-начало координат. Прямые и наз асимптотами гиперболы. Их ур-ние и .Гипербола имеет 2 ветви. Центр симметрии наз центром гиперболы; оси симметрии наз осями гиперболы. Ось, к—рую пересек гипербола наз действительной осью, а ось непересек наз мнимой осью. Величины и наз полуосями. Если = , то гипербола равносторонняя, её ур . Ур (3)определяет гиперболу с действительной осью Оу. Ур (2) и (3) в одной и той же с-ме координат наз сопряженными. Эксцентриситет гиперболы-это отношение фокусного расст к расст между вершинами, т.е. точками пересечения с осями координат. Для ур (2) , т.к.  , то .

Парабола.

П араболой наз множ-во точек плоскости, для каждой из к-рых расст от данной точки, наз фокусом равно расст до данной прямой, наз директрисой и не проходящей через фокус (рис.) - каноническое ур параболы. -наз параметом параболы, точку О-вершиной параболы, ось симметрии-осью параболы.

Вопрос №7. Матрицы и действия над ними.

Таблица чисел вида , сост из строк и столбцов наз матрицей размерности  .

Числа наз её элементами, если  , то матрицу наз-ют прямоугольной, если = , то квадратной. Если =1, а 1, то матрица примет вид и наз матрицей-строкой. Если же 1, а =1, то матрица наз матрицей-столбцом. Число строк в квадратной матрице наз ее порядком. Две матрицы наз равными если они имеют одинак. размерность и соответствующие элементы равны.

Сложение и вычитание матриц.

Суммой двух матриц А и В одинакового размера  наз матрица С размерности  , элементы кот равны сумме соотв эл-в матриц А и В.

Матрица 0 размерности  , все элементы к-рой=0 наз нулевой матрицей.

Разностью двух матриц А и В размерности  наз матрица С размерности  такая, что А=В+С. Из определения следует, что элементы матрицы С равны разности соотв. элементов матриц А и В.

Св-ва сложения:

сложение матриц коммутативно, т.е. А+В=В+А

сложение матриц ассоциативно, т.е. (А+В)+С=А+(В+С)

А+0=0+А=А

Умножение матриц на число.

Произведение матрицы А на число  наз матрицей 2А, эл-ты кот равны произведению числа  на соотв. элемент матрицы А.

Умножение матриц.

Произведение матриц размерности  и матрицы В размерности наз матрица С размерности , элементы кот вычисл как сумма произведений соотв-щих элементов -строки матрицы А на -столбца матрицы В.

Квадратная матрица порядка наз единичной. Обозначается это матрица с единицами на главной диагонали.

Св-ва умножения:

умножение не коммутативно, т.е. А*ВВ*А

умножение матриц ассоциативно, т.е. (А*В)*С=А*(В*С), если такие произведения существуют.

если А матрицы размерности  , В размерности , то

Транспонирование матрицы.

Если в матрице А размерности  все стороки заменить соотв-щими столбцами, то получим матрицу размерности  , к-рую наз транспонированной матрицей А.

Св-ва транспонирования:

Элементарные преобразования строк матрицы:

умножение строк матрицы на ненулевое действит число; прибавление к одной строке матрицы другой, умноженной на некот число.

Лемма: с помощью элементарных преобразований можно поменять местами две любые строки матрицы.

Ступенчатая матрица-матрица, обладающая след. св-ми:

если тая строка нулевая то также нулевая.

если первые ненулевые элементы той строки и находятся соотв-но в столбцах с номерами и . Тогда 

Теорема. Любую матрицу можно привести к ступенчатому виду с пом элементарных преобразований строк матрицы.

Ранг матрицы- число ненулевых строк в ступенчатом виде этой матрицы.

Вопрос №19.Понятие непрерывности ф-и.

Ф. , определенная на наз непрерывной в точке если

Т. Ф. непрерывна в точке только тогда, когда

Т. Если ф. и непрерывны в точке , то непрерывна в этой точке их сумма, разность, произведение, а также частное при усл.

О. Ф. наз непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

1-ая теорема Бальцама - Коши: Пусть ф. непрерывна на отрезке и на концах отрезка имеет значение разных знаков, тогда сущ-ет точка такая, что

Т. Пусть ф. непрерывна на отрезке причем . Пусть –число, заключенное между А и В, тогда сущ-ет точка такая, что

1-ая теорема Вейерштрасса: Если ф. определена и непрерывна на , то она ограничена на этом отрезке.

2-ая теорема Вейерштрасса: Если непрерывна на , то она достигает на этом отрезке своего наиб. и наим. значения.

Вопрос №8.Определители, их свойства.

О пределителем 2-го порядка наз число, вычисляемое по ф-ле

Определителем -го порядка, соотв-щим квадратной матрице -го порядка, наз число, равное сумме произведений элементов какой-либо строки(столбца) на их алгебраическое дополнение.

Минором наз определитель, полученный из данного путем вычеркивания той строки и –того столбца. Алгебраическим даполнением наз-ют число равное .

Т. Определитель -го порядка равен произведению элементов какой-либо строки(столбца) на соотв-щее алгебраическое дополнение.

Св-ва определителя:

Определитель треуг матрицы равен произвед элементов главной диаг

Опред. матрицы с нулевой строкой или нулевым столбцом равен нулю

При транспонировании матрицы, определитель не меняется.

Если матрица А получается из матрицы В умножением каждого элемента некот строки(столбца) на число , то определитель равен

Если матрица В получается из матрицы А перестановкой строк(столбцов), то определитель меняет знак.

Определитель матрицы с пропорциональными строками(столбцами) равен 0.

Определитель матрицы не меняется если к одной из строк прибавить другую, умноженную на некот действит число.

Определитель произведения равен произведению определителей.

, где А и В- квадратные матрицы одног7о порядка.

Обратная матрица.

Квадратная матрица А порядка наз обратимой, если сущ-ет такая матрица В, что . В этом случае В-обратная для матрицы А и обозначают А^-1.

Т. Справедливы след. утверждения:

если матрица обратима, то сущ-ет только одна ей обратная матрица.

определитель обратимой матрицы отличен от 0.

если А и В- обратимые матрицы порядка , то АВ- также обратима. Причем обратная для произведения равна В^-1А^-1. (АВ)^-1= В^-1А^-1

Т. Квадратная матрица А обратима тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от 0. Если отличен от 0, то А^-1=