Гидроманипуляторы и лесное технологическое оборудование Бартенев

361

Ветвь в модели первоначально представляет собой геометрическую об-

ласть, имеющую форму цилиндра радиусом Rв и высотой Lв (рис. 8.37). С точки зрения программной реализации информация о конфигурации ветви хранится в массиве заполненности пространства P[i, j, k]. Модельное трехмерное про-

странство (LX, LY, LZ) разделено прямоугольной равномерной сеткой с шагом сетки d на элементарные ячейки, при этом положение некоторой ячейки опре-

деляется индексами i, j, k. Элементы массива принимают значения P[i, j, k]=1,

если ячейка заполнена (принадлежит ветви), либо P[i, j, k]=0, если ячейка пуста.

Перед началом моделирования заполняются ячейки, попадающие в объем цилиндрической формы, то есть те для которых выполняются условия

Если в процессе компьютерного эксперимента некоторый зуб пилы всту-

пает в контакт с некоторым элементарным кубом, происходит удаление куба.

При этом сила, действующая на зуб пилы, считается пропорциональной коли-

честву удаленных кубов в единицу времени, а количество кубов в модельной ветви постепенно уменьшается. С уменьшением размера элементарного куба d

увеличивается точность физического приближения, однако резко увеличивается время компьютерных расчетов, что вызывает необходимость выбора оптималь-

ного размера куба. В компьютерных расчетах, выполненных ниже, было приня-

то d=0,5 мм, а размеры модельного пространства составляли LX=LY= 200 мм,

LZ= 100 мм.

362

X

Рис. 8.37. Область пространства размером LX LY LZ, в которой производится моделирование и первоначальное представление ветви в форме цилиндра

На каждом шаге интегрирования просчитывается, контактирует ли какой-

либо зуб пилы с ветвью, и, если контактирует то, в модели производится посте-

пенное "резание" ветви, то есть корректируется конфигурация области резания.

В рамках модели на пильном диске располагаются Nзуб=100 зубьев. Зубья могут иметь как симметричный развод (через один вверх и вниз) на определен-

ный угол, так и только верхний развод (нечетные зубья разведены вверх, чет-

ные не отколнены от плоскости диска). При использовании последней схемы развода может реализовываться такой механизм резания, как подрезание-

скалывание: неразведенные зубья подрезают волокна древесины, а разведенные зубья скалывают подрезанные щепы.

Каждый зуб в модели представляет собой пятигранник (рис. 8.38). Вер-

шинами зуба-пятигранника являются шесть точек, три из которых (точки 1, 2, 3) лежат в нижней плоскости пильного диска, а оставшиеся три (точки 4, 5, 6) –

в верхней плоскости пильного диска.

363

3

4

Рис. 8.38. Пятигранная форма зуба пилы в модели (вид сверху на плоскость диска, зуб не разведен)

Координаты точек (xi, yi, zi) пятигранника по отношению к системе координат AZ, связанной с пильным диском, выражаются следующим образом:

где rz – радиус пильного диска;

Nзуб – количество зубьев на диске; r = 1,06858·2π/Nзуб·rz – высота зуба;

φ = 0,38893·2π/Nзуб – угловое расстояние между основанием и краем зуба;

xMC и yMC – координаты точки 4, определяемые методом Монте-Карло в программе, реализующей модель;

bz – толщина диска.

Проверка контакта зубьев с ветвью производится методом Монте-Карло. Для этого перед началом компьютерного эксперимента внутри каждого зуба случайным образом распределяется большое количество Nк пробных точек – контактных точек. Затем, в процессе численного интегрирования, на каждом шаге проверяется попадание каждой из контактных точек в ячейки сетки P[i, j, k]. Количество точек Nк=1000, используемое для основных расчетов, является достаточным, чтобы практически полностью воспроизводить форму зуба.

364

Распределение Nк точек по объему зуба производится следующим образом. Предварительно составляются уравнения пяти плоскостей, ограничивающих зуб, в виде Amx+Bmy+Cmz+Dm=0. Коэффициенты Am, Bm, Cm, Dm определяются, исходя из координат трех точек (xi, yi, zi), (xj, yj, zj), (xk, yk, zk), через которые проводится плоскость:

Am=(yj–yi)·(zk–zi)–(zj–zi)·(yk–yi);

Cm=(xj–xi)·(yk–yi)–(yj–yi)·(xk–xi);

Dm=–Amxi–Bmyi–Cmzi.

В рамках метода Монте-Карло случайным образом генерируется большое количество точек (xp, yp, zp), равномерно распределенных в объеме куба, охватывающего зуб:

где a – ребро куба, заведомо большее линейного размера зуба.

Параллельно производится проверка попадания в объем зуба в случае одновременного выполнения следующих условий:

d123<0, d456>0, d134<0, d234>0, d125>0,

где dm – отклонение пробной точки (xp, yp, zp) от плоскости m, рассчитываемое по формуле

dm=Amxp+Bmyp+Cmzp+Dm. (8.35)

В результате получается набор координат точек, которые при дальнейшей проверке могут оказаться взаимодействующими с ветвью. Пересчет координат точек из системы координат, связанной с диском, в систему координат, связанную с ветвью, производится следующим образом. Во-первых, производится по-

365

ворот диска на некоторый текущий угол φ, при этом координата каждой контактной точки (xi, yi, zi) пересчитывается по формулам

Учет взаимодействия диска с ветвью

С учетом того, что ветвь в модели представляется совокупностью большого числа элементарных кубов малого размера, перерезание ветви в модели осуществляется постепенным удалением кубов, взаимодействующих с зубьями пилы. Куб подлежит удалению, если любая контактная точка зуба попадает в объем куба. Для этого на каждом шаге интегрирования для каждой контактной точки p(xp, yp, zp) производится проверка: является ли заполненным элемент

массива P xdp , ydp , zdp .

В случае, если элемент массива равен единице производится обнуление элемента, то есть удаление куба с координатами i = xp / d, j = yp / d, k = zp / d. В программе предусмотрена возможность не только удаления объема древесины, контактирующего с зубьями, но и отделения щеп, то есть удаления большего объема древесины, чем непосредственно контактирует с зубьями. При этом, в случае попадания некоторой контактной точки в заполненную кубическую ячеку ветви, производится удаление не только одного куба, но и кубов вдоль оси ветви – на расстояние hб max и hд max в обе стороны.

Момент сопротивления резанию Mс.р. пропорционален количеству удаленных элементарных кубов ветви в единицу времени:

366

где kM – коэффициент, определяющий силу сопротивления при удалении элементарного куба, с;

Np – количество удаленных элементарных кубов ветви;

Rp – среднее расстояние удаляемых элементарных кубов от оси пильного диска;

sign(ω) – функция, возвращающая знак ω;

kω – коэффициент вязкого сопротивления резанию, пропорционального угловой скорости ω, (Н·м·с)/рад.

Сила резания Fрез рассчитывается по формуле:

где hпод 0,12 2vпод – подача на режущий зуб;

kп – удельное сопротивление перерезанию; μ – коэффициент трения древесины о зуб; εрез – угол резания передней режущей кромки;

cрез – коэффициент пропорциональности, постоянный для данного металла и обрабатываемой древесины.

Таким образом, с учетом (8.30) и (8.38), описание динамического поведения пилы осуществляется следующей системой дифференциальных уравнений.

Система дифференциальных уравнений (8.39) решается ниже методом численного интегрирования – модифицированным методом Эйлера-Коши [ 139 ].

В процессе пиления зубья внедряются в объем ветви поочередно, причем каждый последующий зуб внедряется, когда предыдущие еще не покинули ветвь, поэтому зависимость Mс.р.(t) является довольно сложной, состоит из от-

367

дельных пиков и в целом представляет собой случайную функцию (см. ниже рис. 8.39).

Решая эти системы уравнений получим для пилы:

Для решения данной системы уравнений составлена программа на ЭВМ, результаты решения представлены в виде графиков зависимостей давления рабочей жидкости от времени процессов разгона и резания дисковой пилы с гид-

роприводом (рис. 8.39, 8.40, 8.41).

Рис. 8.39. График зависимости давления рабочей жидкости от времени при n = 800 об/мин

368

Рис. 8.40. График зависимости давления рабочей жидкости от времени при n = 1000 об/мин

Рис. 8.41. График зависимости давления рабочей жидкости от времени при n = 600 об/мин

Таким образом, на основании полученных уравнений описывающих изменение давление в гидроприводе рабочего органа, можно установить проектные параметры гидропривода пильного рабочего органа и обосновать его технологический режим.

369

8.3.3. Кинематика установленного на манипуляторе ротора с гибким инерционно-рубящим рабочим органом и динамика его гидропривода

Рассмотрим, двухзвенный манипулятор, на рукояти которого, смонтирован привод вращательного действия и ротор с возможностью установки на нём гибкого, пильного или ножевого рабочих органов (рис 8.42).

Рис. 8.42. Кинематическая схема манипулятора с гибким рабочим органом

Вывод уравнение кинематики проведём в несколько этапов.

На первом этапе определим координаты центра поворотной колонны Xк0,Yk0. Они зависят от движения транспортного средства (ТС), на котором установлен манипулятор, и определяются как:

где ХМ1,YM1, ХМ2,YM2, – координаты начала и конца рукояти манипулятора, м; LС,LР – длины стрелы и рукояти соответственно, м;

С, Р – углы поворота стрелы и рукояти соответственно, град.

Так как стрела находится в одной плоскости с рукоятью, то, для того чтобы учесть возможность поворота колонны, необходимо ввести третью ось Z, тогда

где ZМ2 – координата конца рукояти, м;

КМ – скорость поворота колонны с-1.

Таким образом, определили положение ротора, на котором крепится рабочий орган. Это позволяет построить рабочую зону манипулятора без учёта типа рабочего органа.

Для уточнения модели рассмотрим последовательно кинематику рабочих органов, которые могут устанавливаться на манипуляторе. Отметим, что нача-