11. Умовний екстремум.

В більшості проблем технічного, економічного, управлінського характеру ми маємо справу з величинами, значення яких ми можемо в певних межах задавати довільно ( так звані параметри управління) і з величинами, які є функціями параметрів управління і які характеризують мету і наслідки нашої діяльності ( так звані цільві функції). При цьому потрібно знайти такі припустимі значення параметрів управління, які оптимізують цільову функцію, тобто надають їй найбільше чи найменше можливе значення. В реальних задачах доводиться здебільшого оптимізувати функції, які залежать від кількох параметрів управління, тобто функції кількох змінних.

Випадок, коли параметри управління є незалежними змінними, на які не накладено жодних обмежень, розглянуто в п. 9.12. Тим часом досить часто параметри управління повинні задовольняти одне або кілька рівнянь (так звані рівняння в’язі), які встановлюють залежність між ними. В цьому разі мова йде про умовний екстремум, тобто екстремум цільової функції при умові, що параметри управління задовольняють рівняння в’язі. Ми тут розглянемо найпростіший випадок, коли цільова функція залежить від двох параметрів управління, пов’язаних одним рівнянням в’язі, але розглянуті методи і висновки без принципових змін переносяться на загальний випадок.

Постановка задачі. Знайти екстремум функції

(цільова функція) (9.34)

при умові, що змінні задовольняють рівняння

(рівняння в’язі) (9.35)

Розглянемо два методи розв’язання цієї задачі.

1. Метод виключення (або метод підстановки).

Якщо рівняння в’язі (9.35) можна розв’язати відносно одного з параметрів управління, тобто виразити, наприклад, через :

(9.36)

та підставляючи (9.36) у (9.34), виключимо ??? прийдемо до задачі про безумовну оптимізацію функції однієї змінної , яка розв’язується відомим уже способом.

Приклад. У деякій системі координат автострада зображається прямою

(9.37)

а лінія морського берега параболою

. (9.37а) Знайти на береговій лінії точку, найближчу до автостради.

Р И С, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,??????????????????

Нехай шуканою точкою є . Її відстань від прямої (9.37) дорівнює, як відомо з аналітичної геометрії

.

Цю величину й потрібно мінімізувати при умові, що та задовольняють рівняння параболи (9.37а). Для зручності будемо мінімізувати не саму відстань, а її квадрат (очевидно, що невід’ємна величина та її квадрат мінімізуються одночасно).

Отже цільовою функцією буде

(9.38)

а рівнянням в’язі є рівняння параболи (9.37а).

Розв’яжемо рівняння в’язі відносно :

і підставимо цей вираз у (9.38):

Шукаємо безумовний екстремум цієї функції:

Квадратний тричлен дійсних коренів не має (дискримінант від’ємний), отже єдиною стаціонарною точкою є а тоді

Критична точка єдина, а існування мінімуму цільової функції очевидно з геометричних міркувань, отже ця точка і є шуканою.