9.3. Границя і неперервність функції кількох змінних.

Означення. Число називається границею функції в точці , якщо для будь – якого числа існує таке число , що для всіх точок , які задовольняють умову , виконується нерівність .

В логічних символах:

.

Це записують так: .

Простіше кажучи, це означає, що при наближенні точки до точки значення функції наближається до числа . Число при цьому характеризує точність, з якого повинні бути задані значення аргументів, для того, щоб значення функції можна було обчислити з точністю .

Для функції 2 змінних, якщо , пишуть також:

.

Приклад. Довести, що .

Розв’язання В даному прикладі .

Позначимо ,

і зазначимо, що , .

Нехай задано довільне . Розглянемо

.

Нерівність виконується, якщо (одержуємо, розв’язуючи відповідну квадратну нерівність з урахуванням того, що ). Нехай тепер будь – яке число з інтервала , наприклад . Тоді з нерівності випливає нерівність . Таким чином для будь – якого існує таке , що ,

Тобто .

Означення. Функція , визначена в деякому околі точки , називається неперервною в цій точці, якщо .

Зокрема функція 2 змінних неперервна в точці , якщо вона визначена в цій точці і .

Позначимо , . Різниця

називається повним приростом функції в точці , який відповідає приростам аргументів . Із попереднього ясно, що неперервна в точці тоді і тільки тоді, якщо («нескінченно малим приростам аргументів відповідає нескінченно малий повний приріст функції»). Така інтерпретація означення неперервності функції розповсюджується і на випадок будь – якого числа аргументів.

Означення. Функція називається неперервною в даній області , якщо вона неперервна в кожній точці цієї області.

Порівнюючи означення границі і неперервності функцій кількох змінних з розглянутими раніше відповідними означеннями для фукцій однієї змінної, бачимо їх цілковиту аналогію. Тому всі теореми про границі і неперервні функції, сформульовані в попередніх розділах, залишаються в силі і для функцій кількох змінних. Особливо відзначимо той факт, що елементарна функція кількох змінних є неперервною в кожній точці, в якій вона визначена.

Приклад. Функція є елементарною. Вона визначена при і , тобто в усіх точках області, обмеженої осями координат і прямою . Отже вона є неперервною у цій області (рис. 9.7).

Р И С. 9.7 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

9.4. Частинні похідні. Диференційованість функції.

Означення. Нехай задано, наприклад, функцію трьох змінних . Зафіксуємо значення змінних і . Дістанемо функцію однієї змінної : . Якщо ця функція має похідну при , то цю похідну називають частинною похідною по функції в точці і позначають або або або . Подібним чином визначаються і частинні похідні по і : і .

Дане означення залишається в силі і для функції будь – якої кількості змінних: частинною похідною функції по аргументу називається похідна, взята по в припущенні, що решта аргументів фіксовані (сталі).

Позначення: .

ВСТАВКА * ( НЕМА ) !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Приклади. Знайти частинні похідні функцій.

а) .

Вважаючи сталою, одержимо

.

Вважаючи сталою, одержимо

.

б) .

;

;

.

Означення. Функція називається диференційованою в точці , якщо її повний приріст у цій точці можна подати у вигляді

(9.4)

де – нескінченно малі при функції, залежні від .

Вираз , лінійний відносно , є головною частиною повного приросту диференціальної функції, тоді як решта членів – нескінченно малі вищого порядку порівняно з .

Приклад. Нехай . Розглянемо

Тут – головна частина повного приросту, доданки – нескінченно малі більш високого порядку, ніж . Отже функція диференційована в будь - якій точці .

Теорема. Якщо функція диференційована в точці , то вона неперервна в цій точці.

Справді, якщо диференційована, то звідси випливає, що , а це й означає неперервність функції.

Теорема. Якщо функція диференційована в точці , то вона має в цій точці частинні похідні .

Оскільки функція диференційована, то

Нехай (тобто значення зафіксоване).

Тоді , звідки

Тому що при .

Аналогічним чином одержимо, що .

Таким чином у точці існують частинні похідні функції , при чому

, . (9.5)

Зазначимо, що твердження, обернені до попередніх двох теорем не є вірними. Неперервність функції в точці і існування її частинних похідних у цій точці не забезпечують диференційованості функції.

Теорема. (достатня умова диференційованості функції). Якщо в деякому околі точки існують частинні похідні і функції і ці похідні неперервні в точці , то функція диференційована в цій точці.

Розглянемо повний приріст функції:

Додамо і віднімемо член :

(9.6)

Перша квадратна дужка формули (9.6) є приріст функції по аргументу при фіксованому значенні другого аргументу, тобто її можна розглядати як приріст функції однієї змінної . Застосуємо до цієї різниці теорему Лагранжа про скінчений приріст:

,

Де значення знаходиться поміж .

Аналогічно

,

Де значення знаходиться поміж .

Нехай і прямують до нуля. Внаслідок неперервності і матимемо:

.

Отже (за теоремою про зв'язок нескінченно малої з границею функції):

,

де – нескінченно малі при .

Підставляючи отримані вирази в (9ю4), маємо:

,

Тобто функція диференційована у точці , що й треба було довести.

Зазначимо, що всі означення і теореми, розглянуті тут на прикладі функції двох змінних, розповсюджуються відповідним чином на функції будь – якого числа змінних.