2. Метод множників Лагранжа.

Метод виключення зручний, коли є можливість розв’язати рівняння в’язі відносно одного з параметрів управління. Але таке розв’язання не завжди можливе і доцільне. Тоді доводиться користуватися так званим методом множників Лагранжа.

Означення. Функцією Лагранжа для задачі про умовний екстремум функції (9.34) при умові (9.35) називається функція

(9.38)

де невизначений множник, який називають множником Лагранжа.

Теорема. Якщо точка умовного екстремуму функції (9.34) при умові (9.35), то система рівнянь

(9.39)

має розв’язок , де деяке значення множника Лагранжа.

Таким чином теорема стверджує, що умовний екстремум функції (9.34) при умові (9.35) може досягатися лише в тих точках, координати яких разом з деяким значенням задовольняють систему рівнянь (9.39) (необхідна умова екстремуму).

Доведення. Рівняння в’язі (9.35) визначає в принципі деяку залежність , хоча нам явно невідому. Таким чином цільова функція є складеною функцією від :

,

для якої необхідною умовою екстремуму є

(9.40)

Функція визначена як неявна функція рівнянням , тому

.

Підставляємо цей вираз у (9.40):

або .

Позначимо (знак мінус взято лише для зручності, саме значення може мати будь – який знак). Звідки отримуємо, що в точці екстремуму

Крім того координати точки екстремуму повинні задовольняти рівняння в’язі:

Таким чином теорему доведено.

Розв’язавши систему (9.39), ми отримуємо критичні точки, в яких можливий умовний екстремум. Далі потрібно серед критичних точок відшукати розв’язок поставленої задачі або довести, що задача розв’язків не має. Питання про існування і характер умовного екстремуму з’ясовується за знаком другого диференціала функції Лагранжа:

для набору значень , одержаного з системи (9.39) при умові, що пов’язані співвідношенням

.

Функція має умовний максимум, якщо і умовний мінімум, якщо (достатня умова екстремуму).

Але дуже часто звертатися до достатньої умови виявляється зайвим, тому що буває можливим зробити належний висновок, виходячи з особливостей даної задачі.

Приклад.

Буй являє собою два однакових кругових конуси, з’єднані вздовж кола основи (рис. 9.15). Потрібно знайти розміри буя так, щоб він мав найбільший об’єм при заданій площі поверхні .

Р И С 9.15 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

.

Розв’язання. Позначимо радіус спільної основи конусів , висоту одного з конусів (рис. 9ю15). Тоді твірна конуса . Очевидно, що потрібно оптимізувати об’єм буя, тобто величину (цільова функція) при умові, що його поверхня

або (рівняння в’язі).

Складаємо функцію Лагранжа:

.

Необхідні умови екстремуму дають систему рівнянь:

Скоротимо перше рівняння на , а друге на :

З другого рівняння виразимо :

і підставимо в перше рівняння:

звідки .

Підставляємо цей вираз у третє рівняння:

,

Тоді .

Маємо єдину критичну точку, а за змістом задачі умовний максимум повинен існувати, отже знайдені розміри і є шуканими.