11. Метод найменших квадратів.

В процесі наукового або інженерного експерименту задається зазвичай ряд окремих значень однієї величини (позначимо її ) і вимірюється відповідне значення іншої величини (позначимо її ). В результаті серії дослідів одержимо функціональну залежність від у вигляді таблиці такого типу:

				……
				…..

Виникає питання – як підшукати (можливо наближену) формулу для цієї функції? Використання інтерполяційних формул в більшості випадків недоцільне, а іноді й практично неможливе з таких причин:

а) інтерполяційна формула виявляється надто складною (многочлен високого степеня), її побудова вимагає громіздких обчислень;

б) затрачена при цьому праця не виправдовує себе, тому що інтерполяційна формула сліпо повторює всі випадкові похибки, закладені в експериментальних даних і не може адекватно відображати суть досліджуваного процесу.

Отже, задача полягає в такій обробці експериментальних даних, при якій по можливості точно була б відображена тенденція залежності від і по можливості повно було виключено вплив випадкових відхилень, пов’язаних з похибками експерименту. Така задача є типовою для інженерної практики.

Дуже часто вигляд залежності (наприклад, лінійна, квадратична, степенева, показникові, то – що ) відомий із загальних міркувань або може бути гіпотетично встановлений за розташуванням експериментальних точок на координатній площині. Тоді на підставі дослідних даних потрібно визначити лише значення деяких параметрів цієї залежності. Так, у випадку лінійної залежності треба визначити коефіцієнти . Для цієї мети німецьким математиком К.Ф. Гауссом було розроблено розрахунковий метод, який називають методом найменших квадратів.

Для простоти обмежимося випадком, коли залежність апроксимується лінійною функцією:

, (9.32)

Де коефіцієнти і підлягають обчисленню на підставі експериментальних даних (див. таблицю на початку цього пункту).

Підставляючи табличне значення в праву частину (9.32), ми, взагалі кажучи, не отримаємо точне табличне значення , тому що табличні значення містять у собі похибки експерименту. Отже для всіх чи деяких значень різниця (так звана нев’язка)

, буде відмінна від нуля.

Гаусс запропонував обирати значення параметрів і так, щоб вони мінімізували суму квадратів нев’язок

. (9.33)

Тоді пряма буде проходити в певному розумінні «якнайближче» до кожної з екстремальних точок.

Таким чином задача звелася до відшукання точки мінімуму функції .

Для відшукання стаціонарних точок прирівнюємо до нуля частинні похідні :

Після скорочення на 2, розкриття дужок і зведення подібних одержимо так звану нормальну систему методу найменших квадратів:

(9.33??)

Можна довести, що визначник цієї системи завжди відмінний від нуля, тому система має єдиний розв’язок, тобто функція має єдину стаціонарну точку. Оскільки і необмежена зверху, то вона повинна мати мінімум, а значить знайдена стаціонарна точка і є точкою мінімуму. Обчислені значення підставляємо в (9.32) і отримуємо емпіричну формулу для залежності .

Табличний метод застосовується і для підбору емпіричних формул інших типів.

Приклад. Апроксимувати многочленом першого степеня функцію, задану таблицею

	– 1,5	– 1,0	0	0,5	1,5	2,0
	– 0,6	0,2	0,6	1,1	1,4	1,9

Обчислимо коефіцієнти нормальної системи:

Записуємо нормальну систему:

Розв’язуючи цю систему, отримуємо

Відповідь Пропонуємо зобразити на графіку експериментальні точки і графік отриманої лінійної функції.