11. Формула Тейлора для функції кількох змінних.

В попередньому розділі (п. 8.3) було виведено формулу Тейлора для функції однієї змінної (формула 8.8):

де залишковий член формули, який має не менш ніж порядок мализни відносно .

Якщо позначити , то ця формула прийме вигляд

.

Враховуючи, що , можемо написати:

.

Виявляється, що в такому записі формула Тейлора має місце і для функції кількох змінних.

Розглянемо для визначеності функцію двох змінних . Нехай , а . Тоді

, (9.28)

де залишковий член має порядок не менший, ніж відносно .

Для практичного застосування формули треба замінити повні диференціали їх виразами. Так, для функції двох змінних можемо написати, обмежуючись першими членами формули:

, (9.29)

де є величиною не менш ніж третього порядку мализни відносно .

Як і у випадку функції одного аргументу, формулою Тейлора можна користуватися для наближених обчислень, якщо прирости аргументів достатньо малі за абсолютною величиною. Але через громіздкість формула Тейлора для функції кількох змінних має скоріше теоретичне значення.

11. Локальний екстремум функції кількох змінних.

Означення. Нехай функція визначена в області , а точка . Якщо існує окіл точки , який належить до області і для всіх точок цього околу має місце нерівність (або ) то точка називається точкою локального максимуму (або мінімуму) функції , а число – локальним максимумом (мінімумом) цієї функції. Воно є найбільшим (найменшим) значенням функції порівняно із значеннями в сусідніх точках (точках згаданого околу). Тому такий максимум (мінімум) і називається локальним. Зауважимо, що в загальному околі приріст функції зберігає знак (відємний у випадку максимуму і додатній у випадку мінімуму). Точки максимуму і мінімуму функції називають її точками екстремуму. В подальшому, якщо не застережено інше, розглядатимемо лише локальні екстремуми, тому прикметник «локальний» не пишемо. Геометричне уявлення про характер графіка функції поблизу точок екстремуму дає

рис. 9.14, де точки екстремуму: точки максимуму, а точка мінімуму.

Теорема. (необхідні умови екстремуму).

Якщо точка є точкою екстремуму функції , то в цій точці або частинні похідні дорівнюють нулю, або хоч одна з них не існує.

Зафіксуємо і розглянемо функцію однієї змінної . За умовою теореми ця функція має екстремум при , отже за необхідною умовою екстремуму для функції однієї змінної її похідна або дорівнює нулю, або не існує (п. 8.5). Цілком аналогічні міркування мають місце і для частинної похідної .

Оскільки вектор нормалі до поверхні дорівнює , то геометрично необхідна умова екстремуму що в точках екстремуму нормаль до графіка функції або паралельна (точки на рис.9.14), або не визначена (точка на рис. 9.14).

Точки , в яких виконуються необхідні умови екстремуму, називаються критичними точками функції , зокрема точки, в яких обидві частинні похідні дорівнюють нулю, називаються стаціонарними точками функції.

Сформульовані умови є лише необхідними, тобто кожна точка екстремуму є критичною точкою, але не кожна критична точка є точкою екстремуму. Наприклад, точка на рис. 9.14 не є точкою максимуму чи мінімуму функції, хоча в цій точці і виконані необхідні умови екстремуму.

В багатьох задачах практичного змісту заздалегідь відомо, що екстремум існує. Якщо при цьому досліджувана функція має лише одну критичну точку, то саме ця точка і є точкою екстремуму. В інших випадках наявність чи відсутність екстремуму в кожній критичній точці доводиться встановлювати за допомогою достатніх умов екстремуму, які для функцій кількох змінних формулюються досить складно. Ми розглянемо тут лише випадок функції двох змінних.

Теорема. (достатня умова екстремуму функції двох змінних). Нехай у стаціонарній точці і деякому її околі функція має неперервні частинні похідні другого порядку. Якщо у цій точці виконується нерівність

,

то є точкою екстремуму, при чому точкою мінімуму, якщо і точкою максимуму, якщо .

Якщо , то в точці екстремуму немає. При екстремум може бути, а може і не бути (потрібне додаткове дослідження).

Запишемо формулу Тейлора для функції (формула (9.29)), перенісши у ліву частину і врахувавши, що (точка стаціонарна):

,

де має вищий порядок мализни, ніж перші члени, отже знак приросту функції такий самий, як і знак другого диференціала (при достатньо малих ):

. (9.30)

Якщо в деякому околі точки зберігає додатній знак, то і приріст зберігає додатній знак, тобто є точкою мінімуму, а якщо , то і , тобто в точці маємо максимум. Якщо ж у будь – якому околі точки другий диференціал приймає значення різних знаків, то і приріст не є знакосталим, отже в точці екстремуму немає.

Таким чином достатньою умовою наявності екстремуму в стаціонарній точці є знакосталість в деякому околі цієї точки. Для визначення цієї умови безпосередньо через значення частинних похідних другого порядку в точці винесемо за дужки у виразі (формула (9.30)) і позначимо :

. (9.31)

У дужках маємо квадратний тричлен відносно , який зберігає знак в тому випадку, коли не має дійсних коренів, тобто коли дискримінант

,

або

.

знак квадратного тричлена в цьому випадку визначається знаком старшого коефіцієнта .

Отже, якщо , то і є точкою мінімуму, а якщо , то – точка максимуму.

Якщо ж , тобто , то квадратний тричлен у (9.31) має два дійсних корені, при переході через які міняє знак. Отже у будь – якому околі точки приймає як додатні, так і від’ємні значення, і в точці екстремуму немає. Теорему доведено.

Приклад.

Знайти екстремуми функції .

1. Знаходимо частинні похідні

.

2. Знаходимо стаціонарні точки

Маємо дві стаціонарні точки . Інших критичних точок немає.

3) Знаходимо частинні похідні другого порядку

а) в точці :

екстремуму в точці немає.

б) в точці : ,

функція має мінімум в точці .

3. Знайдемо значення функції в точці мінімуму:

.