9.6. Диференціювання складних функцій.

Нехай функція двох змінних , при чому кожна з них є функцією незалежної змінної , тобто . Тоді функція буде складеною функцією змінної (природне узагальнення поняття складеної функції з одним проміжним аргументом, визначеною у п. 6.3). Розглянемо питання про відшукання похідної цієї функції.

Теорема. Якщо функції і диференційовані в точці , де , то складена функція також диференційована в точці , при чому

. (9.11)

Справді, надамо змінній приросту . Тоді функції і отримають прирости і , а функція в свою чергу приріст . Оскільки диференційована в точці , то

,

де – нескінченно малі при .

Поділимо обидві частини рівності на :

.

Оскільки і диференційовані в точці , то

і, крім того і неперервні в точці , отже , звідки

Таким чином існує границя

,

що й потрібно було довести.

Зокрема, якщо , то

і ми маємо

. (9.11а)

Цю формулу називають формулою для обчислення повної похідної (на відміну від частинної похідної ).

Приклади.

1. Вивести формулу для похідної показникові – степеневої функції .

Маємо: , отже за формулою (9.11):

(9.12)

Наприклад

.

2. Знайти частинну і повну похідну функції , якщо .

Частинна похідна дорівнює .

Повна похідна згідно з формулою (9.11а) дорівнює:

.

Міркування, цілком аналогічні використаним при доведенні формули (9.11), дозволяють узагальнити формулу (9.11) на випадок кількох незалежних змінних і трьох та більше проміжних аргументів. Якщо, наприклад, функції диференційовані в точці , а функція диференційована в точці , де , то складена функція двох змінних також диференційована в точці , при чому

(9.11б)

9.7. Неявні функції та їх диференціюванн.

В багатьох задачах функція однієї змінної визначається не безпосереднім законом залежності змінної від змінної , а рівнянням, яке пов’язує значення і , і в загальному випадку має вигляд

(9.13)

Про функцію, задану таким чином, кажуть, що вона задана неявно або є неявною.

Поняття неявної функції однієї змінної було запроваджене і обговорене вище,

в п. 6.5. В п. 7.4. було дано рекомендації щодо відшукання похідної такої функції.

Тут ми розглянемо умови існування неявної функції і вкажемо загальний вигляд її похідної.

Теорема (про достатні умови існування неявної функції).

Нехай

1) функція визначена і неперервна разом із своїми частинними похідними в деякому околі точки ;

2) ;

3) .

Тоді існують такі і , що в області рівняння визначає як однозначну функцію змінної : , при чому

а)

б) на інтервалі функція неперервна і має неперервну похідну (див. рис. 9.9).

Р И С 9.9. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Відповідно до цієї теореми функція диференційована в околі точки . Знайдемо її похідну. Оскільки в околі , то в цьому околі повна похідна

.

Запишемо повну похідну за формулою (9.11а):

,

звідки

. (9.14)

При цьому значення і повинні задовольняти рівняння (9.13), так що по суті значення похідної визначається системою рівнянь (9.13) і (9.14).

Приклад. Знайти похідну функції , заданої рівнянням

.

Обчислити значення та .

Тут , ,

, отже, згідно з (9.14)

.

Підставляючи в рівняння, що визначає функцію, , отримуємо . Це рівняння має єдиний дійсний корінь , отже . Підставляючи у вираз похідної, отримуємо

.

Зауваження. Рівняння з числом змінних 3 або більше може при відповідних умовах визначати неявну функцію кількох змінних. Розглянемо рівняння

(9.15)

Якщо парі чисел з деякої множини відповідає єдине значення , яке разом з та задовольняє рівняння (9.15), то це рівняння задає неявну функцію двох змінних . Формули для частинних похідних цієї функції виводяться цілком аналогічно до формули (9.14):

(9.16)

Приклад. Знайти частинні похідні функції , заданої неявно рівнянням

Тут ;

.

За формулою (9.16)

.