9.2. Функція кількох змінних.

Означення. Якщо кожній точці області поставлено у відповідність певне число , то кажуть, що в області задано функцію точки або функцію кількох змінних, і пишуть або .

Зокрема, якщо , то це буде функція двох змінних: або , де координати точки . Подібним чином якщо , то маємо функцію трьох змінних: або .

Область називається областю визначення даної функції, координати точки – незалежними змінними або аргументами даної функції, множина областю значень функції .

Надаль ми розглядатимемо в основному функції 2 і 3 змінних, але отримані при цьому висновки залишаються в силі і для будь – якої (скінченої) кількості змінних.

Основним способом задання функції кількох змінних в математичному аналізі є аналітичний, коли функцію задають аналітичним виразом (формулою), що вказує, які дії потрібно виконати над аргументами, щоб отримати значення функції, наприклад

або .

Широко застосовується, особливо в практичних розрахунках, програмний спосіб, коли функцію задають програмою для обчислювального пристрою.

Табличний спосіб для задання функцій кількох змінних при збільшенні кількості аргументів стає незручним. Таблиця для функції 2 змінних повинна мати два входи, що є ще прийнятним, а таблиця для функціх 3 змінних потребує трьох входів, тобто потрібна вже не одна таблиця, а деякий набір таблиць. Тому для функцій трьох і більше змінних табличний спосіб задання практично не застосовується.

Графіком функції 2 змінних є поверхня в 3 – вимірному просторі . Кожній точці області , в якій визначена функція , відповідає на цій поверхні точка з аплікатою , тобто точка (рис. 9.3).

Р И С 9.3 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Графіком функції 3 змінних є «поверхня» чотири – вимірного простору, що лежить поза межами наших наочних уявлень, отже графічне завдання функцій 3 і більше змінних неможливе.

Оскільки графік функції 2 змінних є поверхнею тривимірного простору, то практична реалізація такого графіка викликає очевидні труднощі. Тому для наочного зображення функції 2 змінних на площині користуються так званими лініями рівня.

Означення. Лінією рівня функції називається множина всіх точок площини , в яких функція приймає одне й те ж саме значення , тобто множина, яка описується рівнянням де число належить до області значень функції .

Геометрично лінії рівня утворюються, якщо перетинати графік функції площинами, паралельними площині , і проектувати лінії перетину на цю площину (рис. 9.4).

Р И С 9.4 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1

Інакше кажучи, графік функції розглядається як рельєф деякої місцевості, а лінії рівня є горизонтальними на топографічній карті цієї місцевості. Така карта дає наочне уявлення про поведінку функції.

Для функції трьох змінних цілком аналогічно визначаються поверхні рівня де – const із області значень функції .

Приклад. Для функції вказати її область визначення, графік і лінії рівня.

Розв’язання. Функція визначена за умови .

Щоб знайти межу області визначення, замінимо нерівність на рівність:

, або .

Отримали рівняння еліпса з центром у початку координат і півосями і (рис. 9.5)). Еліпс ділить площину на 2 частини: зовнішню і внутрішню. Для точки , яка лежить зовні еліпса, маємо , отже точки зовнішності еліпса не належать до області визначення функції. Для точки (0;0) маємо , тобто точки внутрішності еліпса належать до області визначення даної функції. Отже, область визначення функції є внутрішність еліпса , включаючи точки самого еліпса.

Р И С 9.5 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1111

Рівняння графіка функції піднесемо до квадрата:

, або .

Це рівняння еліпсоїда з півосями , . Враховуючи, що для всіх , робим висновок, що графіком даної функції є верхня половина цього еліпсоїда (рис. 9.6).

Р И С 9.6 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!111

Як із аналітичного виразу, так і з графіка заданої функції очевидно, що область значень функції . Нехай будь – яке число відрізка . Відповідна лінія рівня даної функції має рівняння

, або ,

Звідки , тобто рівняння еліпса з півосями і і центром у початку координат. Надаючи різних значень, які заповнюють область визначення функції і мають однаковий ексцентриситет і спільний центр у початку координат.